در این پایان نامه یک روند جدید برای بررسی ساختار گردایه ی زیرگروههای بسته ی یک گروه توپولوژیکی مطرح می شود. در این روش از مفهوم توپولوژیکی ابر فضاها استفاده می گردد. اگر چه این تئوری بیشتر برای گروههای فشرده بکار می رود اما بسیاری از نتایج آن برای گروههای هم متناهی نیز ثابت می شوند. فرض کنید x یک فضای توپولوژیکی و (k(x گردایه ی همه ی زیر مجموعه های فشرده ی نا تهی از x باشد. توپولوژی های مختلفی می توان روی(k(x تعریف کرد که آن را تبدیل به یک " ابر فضا " کند. یکی از این توپولوژیها، توپولوژی استاندارد و دیگری توپولوژی ویتوریس است. یک گروه توپولوژیک فشرده ی g را در نظر می گیریم. زیر فضاهای (k(gعبارتند از: (s(gفضای زیر گروه ، (c(g فضای همدسته های و (n(g فضای زیر گروههای نرمال . در فصل اول بعضی از نتایج بنیادی این فضاها مانند : نشاننده های فضاهای زیرگروه، ثابت های کاردینال وپایداری نمایش های تصویری، بررسی شده اند. همچنین در فصل دوم با استفاده از تناظر پونتری آگین و تئوری گالوا خواص فضای زیر گروههای بسته ی گروه آبلی فشرده بر حسب زیر گروههای گروههای آبلی گسسته را بررسی می کنیم. بٌعد فضای زیر گروه تولید شده از دو گروه را تجزیه و تحلیل می کنیم و در پایان فضای زیر گروه بعضی از گروههای فشرده را محاسبه می کنیم. گروههای فشرده ی توپولوژیکی خاصیت خیلی قوی فشرده ی دوگونجی را دارد . درفصل سوم، نتایج، دو خاصیت فشردگی دوگونجی و k - متریک پذیری را بررسی می کنیم. این نتایج روی همئو مورفیسم های فضای زیر گروه های یک گروه هم متناهی، توسط گارتساید و اسمیت ناکامل اما گسترده طبقه بندی و ساخته شده است .