q-ضرب داخلی اولین بار توسط دراگومیر در سال 1986 مورد بررسی قرار گرفت و بعد از آن وی به همراه مانتین کارهای متعدی در این زمینه انجام دادند. سپس دراگومیر و گراسمارینو موضوع 2k-ضرب داخلی را به عنوان تعمیمی از q-ضرب داخلی مطرح کردند. مسئله بهترین تقریب به دلیل کاربردهایی در بهینه سازی تاریخچه طولانی دارد، همچنین مفاهیم و تکنیک های مفیدی را در آنالیز تابعی ارتقاء می دهد. فضای اصلی کار برای مسئله تقریب فضاهای باناخ و هیلبرت بوده است زیرا هندسه این فضاها به گونه ای است که می توان در آن به وسیله تعامد بیرخوف و یا تعامد ضرب داخلی نتایج مفیدی از وجود و یکتایی اعضای بهترین تقریب به دست آورد. دراگومیر، چو و نارانگ توصیف های جالبی از مسئله بهترین تقریب برای تابعک های خطی پیوسته بر حسب مشتق نرم در فضاهای معمولی ارائه داده اند. در این پایان نامه، مفهوم فضای 2k-نرمدار تعریف شده و برخی خواص آن از جمله به طور یکنواخت محدب بودن، مشتق پذیری گتئوکس و سرشت نمایی از نمایش تابعک های خطی پیوسته روی فضای 2k-ضرب داخلی در حدود بهترین تقریب ها و تعامد ارائه شده است.