در این پایان نامه، ترمودینامیک و ‏نمایش هندسی ترمودینامیک سیاهچاله های مختلف ‏را مورد مطالعه قرارمی دهیم. به منظور شناخت بهتر سیاهچاله ها مختلف‏، استفاده از مفاهیم هندسه ی ترمودینامیکی راپنیر و وینهلد و نیز روش ناوردای لژاندر از اهمیت بسیاری برخوردار است. با در نظر گرفتن رفتار ظرفیت گرمایی و دمای هاوکنیگ، می توان نشان داد که استفاده مستقیم از هندسه ی راپنیر نمی تواند به طور کامل خواص ترمودینامیکی سیاهچاله ها را توصیف کند. ‎‎اما در مقابل در فضای حالات تعادلی ترمودینامیک‏، روش ناوردای لژاندر‎ ‎‎اطالاعات درستی در مورد ترمودینامیک سیاهچاله ها را به ما می دهد به طوری که در بسیاری از سیاهچاله ها، مشاهده می شود که تکینگی های خمش اسکالرمربوط به متریک ناوردای لژاندر دقیقاً در نقاط گذار فاز مربوط به ظرفیت گرمای اتفاق می افتند‎ به عبارت دیگر نقاط واگرایی ظرفیت گرمایی همان نقاط تکینگی خمش هستند. اخیراً حل جدیدی از نظریه ماکسول- پاد- انیشتین‎‎ با ثابت کیهانشناسی به نام فانتوم ریسنرنردستروم در فضای پاد دوسیته به دست آمده است. به منظور مطالعه خواص این حل نیاز به داشتن تابعی از انرژی (جرم) بر حسب عبارتی از افق رویداد بیرونی و بار سیاهچاله فانتوم ریسنر نردستروم داریم که از فرمول مربوط به متریک فضا زمان به دست آمده از حل کنش ماکسول- پاد- انیشتین‏، حاصل می شود. با توجه به قانون اول ترمودینامیک و تابع جرم می توان کمیت های نافزونبر از جمله دمای هاوکینگ و نیز پتانسیل الکتریکی مربوط به سیاهچاله فانتوم ریسنر نردستروم را محاسبه کرد. به طور کلی خواص ترمودینامیک سیاهچاله فانتوم را می توان با روش های زیادی تحلیل کرد، یکی از این روش ها، روش معمول دیویس‎ ‎‎است. اما روش های مفید دیگری وجود دارند که هم از لحاظ ریاضی و هم از لحاظ فیزیکی قابل توجیح هستند. از مهمترین این روش ها می توان به روش ناوردای لژاندر و روش ترمودینامیک هامیلتونی‎ اشاره کرد. استفاده از روش ناوردای لژاندر برای سیاهچاله فانتوم ریسنر نردستروم نشان می دهد که نقاط گذار فاز از ظرفیت گرمایی با نقاط تکینگی خمش اسکالر از متریک ناوردای لژاندر ناسازگاری دارد. بنابراین، روش ناوردای لژاندر در توضیح تطابق میان گذار فاز ها و تکینگی های خمش اسکالر ناتوان است. در این پایان نامه، روش جدیدی برای نمایش هندسی ترمودینامیک سیاهچاله ها را پیشنهاد شده است. این فرمولبندی ما را به برقراری ارتباط صحیح میان نقاط گذار برای ظرفیت گرمایی و تکینگی های خمش رهنمود می کند. با استفاده از این فرمولبندی جدید از نمایش هندسی می توان به نتایج درستی برای سیاهچاله فانتوم ریسنر نوردستروم رسید به عبارت دیگر با این روش برای توضیح بهتر از هندسه سیاهچاله فانتوم ریسنر نوردسترم در فضای پاد دوسیته، قادر به بیان هم خوانی بین نقاط گذار فاز و نقاط واگرای خمش اسکالر هستیم. روش ناوردای لژاندر (متریک کودو) نقاط اضافه ای که در آنها اسکالر خمش واگرا است را به ما می دهد که شامل نقاط گذار نیستند. ما این روش را برای شمار زیادی از سیاهچاله ها شناخته شده بکار بردیم که در تمام آنها تکینگی های ظرفیت گرمای و خمش اسکالر بر هم منطبق هستند. اثبات دقیقی نیز در حالت کلی ارائه شده که نشانگر انطباق نقاط گذار فاز و واگرای خمش اسکالر است. بنابراین نتیجه می گیریم روش ما می تواند به عنوان یک روش ساده و درست و منطقی از نمایش هندسی ترمودینامیک سیاهچاله ها استفاده شود.