اگر یک فضای متریک باشد، نگاشت انبساطی گفته می شود هر گاه ،برای هر و ،و یک انقباض نقطه ای نامیده می شود، هر گاه برای هر وجود داشته باشد به طوری که ، برای هر . اگر یک زیر مجموعه ی فشرده ی ضعیف از یک فضای باناخ باشد، آنگاه این سوال مطرح می شود که تحت چه شرایطی روی و نگاشت نا انبساطی دارای یک نقطه ی ثابت است. اگر ساختار نرمال داشته باشد، آنگاه وجود یک نقطه ی ثابت تضمین شده است. اگر و زیر مجموعه های ناتهی از یک فضای متریک باشند، نگاشت یک نگاشت انقباض دوری است، هر گاه در شرایط ذیل صدق کند: الف) و . ب) برای تعدادی ، داشته باشیم ، برای هر و . گوییم یک زوج از زیر مجموعه ها، در یک فضای باناخ در یک خاصیت صدق می کند، هر گاه هر دوی و در آن خاصیت صدق کنند. یک زوج از زیر مجموعه های یک فضای خطی نرمدار، یک زوج تقریبی گفته می شود هر گاه برای هر ، وجود داشته باشد ، به طوری که . یک زوج محدب را در یک فضای باناخ دارای ساختار نرمال تقریبی گویند، هر گاه برای هر زوج تقریبی محدب، بسته وکراندار ، برای وقتی که و ، وجود داشته باشد ، به طوری که و ، که در آن .