مفهوم نیم ضرب داخلی هم از نظر تئوری هم از جنبه های کاربردی حائز اهمیت است. نیم ضرب داخلی به مفهوم لومر و گیلس در سال 1961 توسط لومر معرفی شد و خواص اساسی آن توسط گیلس مورد بررسی قرار گرفت. مطالعات بیشتری روی این بحث توسط میلچیچ، روشکا، نات و سایرین انجام پذیرفت. هدف از این پایان نامه پس از تعریف انواعی از نیم ضرب های داخلی و بررسی خواص مقدماتی آن ها، بررسی توابعی متناظر با این نیم ضرب ها به نام نیم ضرب های بالایی و پایینی است. این پایان نامه شامل 3 فصل است. ابتدا فصل اول را با بیان مفاهیم مورد نیاز در مورد فضاهای نرمدار و فضاهای با ناخ و سپس معرفی ضرب داخلی شروع می کنیم و به بیان قضایا و تعاریف مورد نیاز در فصل های آتی می پردازیم. در فصل دوم به معرفی نیم ضرب داخلی به مفهوم لومر و گیلس و نیم ضرب داخلی بالایی و پایینی و خواص مقدماتی آن می پردازیم و هم چنین روابط شان را با نگاشت دوگانی بیان می کنیم و به کمک توابع مطرح شده در فضاهای نیم ضرب داخلی برخی نامساوی ها را بهبود خواهیم داد.