زیر مجموعه های کاملا بحرانی از فضاهای اقلیدسی بسیاری از مسایل و مشکلات در فیزیک، مهندسی زیست شناسی و علوم اجتماعی را با پیدا کردن نقاط بحرانی از توابع حقیقی مقدار روی فضاهای مختلف می توان کاهش داد. اولین گروه از نقاط بحرانی که مطالعه و بررسی شده است نقاط کمینه و نقاط بیشینه بوده است. بنابراین بسیاری از فعالیتها در جبر متغیرها به بررسی چنین نقاطی اختصاص یافته است. آنچه تا کنون ارائه شده است بیان می کند که یک راهکار سازمان یافته برای ارائه چنین نقاطی وجود دارد که این روشها متغیر جهانی و روشهای توپولوژیکی نامیده می شود. این روشها شامل دو بخش روش مینی ماکس و قضیه مورس است. در این پایان نامه پس از مقدمه و تاریخچه یک فصل به تعاریف وقضایای هندسی و آنالیزی تعلق دارد. در فصل سوم پس از تعریف چند تابع حقیقی مقدار، به بررسی مجموعه های بحرانی خط اعداد حقیقی می پردازیم و ثابت می کنیم که زیر مجموعه های بسته خط محور اعداد حقیقی بحرانی هستند ولی همه ی آنها کاملا بحرانی نیستند. سپس تعریف بحرانی و کاملا بحرانی را به فضاهای اقلیدسی با بعد بالاتر تعمیم می دهیم. در فصل چهارم نیز مجموعه های بحرانی روی خمینه های یک بعدی را بررسی نموده سپس مجموعه های بحرانی برداری را تعریف می کنیم. در پایان نیز مجموعه های بحرانی کره و استوانه بسته را به عنوان دو مثال ارائه خواهیم کرد.