عدد رمزی دو گراف دلخواه، کوچکترین عدد طبیعی است به طوریکه در هر دو رنگ آمیزی یالی گراف کامل از مرتبه ی آن عدد طبیعی با دو رنگ آبی و قرمز، بتوان زیرگراف آبی یکریخت با گراف اول یا زیرگراف قرمز یکریخت با گراف دوم یافت. اگر هر دو گراف یکریخت باشند، این عدد رمزی را عدد رمزی قطری گراف می گوییم. در رابطه با اعداد رمزی قطری گراف های تنک دو حدس معروف از اردوش و بر وجود دارد. ار دوش و بر در سال 1973 حدس زدند که عدد رمزی گراف های با درجه ی ماکزیمم کران دار و عدد رمزی گراف هایی که در هر زیرگراف شان درجه ی میانگین پایین است، نسبت به مرتبه شان خطی است. چواتال و همکارانش این حدس را برای گراف های با درجه ی ماکزیمم کران دار به کمک لم منظمی زمردی ثابت کردند ولی برای گراف های دسته ی دوم هنوز مسئله باز است. اگرچه برای کلاس هایی از گراف ها ثابت شده است. هم چنین کاستاچکا و رادل در سال 2006 اولین بار این دو حدس را برای ابرگراف ها مطالعه کردند و سپس افراد مختلف از جمله کولی، نیگل، کنلن، فاکس و سوداکو ثابت کردند عدد رمزی ابرگراف های با درجه ی ماکزیمم کران دار نسبت به مرتبه شان خطی است. اردوش در سال 1983 حدس زد که عدد رمزی هر گراف با تعداد یال مشخص از عدد رمزی گراف کامل با همان تعداد یال کمتر است و سپس به دنبال این حدس، حدس ضعیف تری مطرح کرد که در سال 2011 توسط سوداکو با استفاده از خواص گراف های تنک اثبات شد. در این پایان نامه نتیجه ی سوداکو را ارایه می کنیم و سپس تعمیم می دهیم. کنلن و همکارانش مسئله ی مشابهی برای ابرگراف ها مطرح کردند ولی هنوز ثابت نشده است. در این پایان نامه نتیجه ی به دست آمده توسط کنلن و همکارانش را در رابطه به عدد رکزی ابرگراف های با درجه ی ماکزیمم کران دار مطالعه می کنیم. هم چنین عدد رمزی 3-رنگی مسیرها را وقتی یکی از مسیرها دارای سه رأس باشد به دست می آوریم.