دستگاه معادلات سیلوستر تعمیم یافته کاربرد زیادی در شاخه های مختلف کنترل و نظریه ی سیستم دارد. در این پایان نامه با استفاده از ایده ی الگوریتم گرادیان مزدوج، دو روش تکراری برای به دست آوردن جواب های خاص این نوع معادلات ارائه می شود. نشان می دهیم وقتی که دستگاه معادلات ماتریسی سازگار است با استفاده از این الگوریتم ها می توان یک گروه جواب در تعداد متناهی تکرار در غیاب خطای گرد کردن برای آن به دست آورد، و با انتخاب حدس اولیه ی مناسب می توان گروه جواب با کمتزین نرم فروبنیوس را به دست آورد. با استفاده از الگوریتم های ارائه شده می توان بهترین تقریب برای گروه ماتریس داده شده ی (l?, ..., 2,?1?)، را از بین مجموعه ی جواب های آن به دست آورد.