نام پژوهشگر: اکبر داودی
اکبر داودی بهناز عمومی
یک رنگ آمیزی رأسی مجاز برای گراف دلخواه $g$ اختصاص رنگ به رئوس گراف است به طوری که رئوس مجاور رنگ های متفاوت دریافت نمایند. به دلیل جذابیت های کاربردی و تحقیقاتی این مفهوم، تاکنون تعمیم های گوناگونی از رنگ آمیزی رأسی تعریف شده و مورد بررسی قرار گرفته است. در این پایان نامه یکی از این تعمیم ها به نام مفهوم رأس-رنگ آمیزی یال-وزن دهی یک گراف را مورد بررسی قرار می دهیم. فرض کنید $g$ یک گراف متناهی، غیرجهت دار و ساده با مجموعه رئوس $v(g)$ و مجموعه یال های $e(g)$ است. یک $k$-یال-وزن دهی مانند $w$ از گراف $g$ را به عنوان یک تخصیص از وزن های صحیح $w(e)in{{mbox 1},{mbox 2},ldots,k}$ به تمام یال های $g$ درنظر می گیریم. به طور طبیعی هر یال-وزن دهی $w$ یک رنگ آمیزی رأسی $c$ القا می کند که برای هر رأس $v$ به صورت $c(v)=sum_{esim v} w(e)$ تعریف می شود. یک $k$-یال-وزن دهی از گراف $g$ یک رأس-رنگ آمیزی نامیده می شود، اگر رنگ آمیزی رأسی القایی $c$ مجاز باشد، یعنی برای هر $uvin e(g)$، $c(u) eq c(v)$. به چنین رنگ آمیزی یک رأس-رنگ آمیزی $k$-یال-وزن دهی گفته می شود. هدف این پایان نامه مطالعه مفهوم رأس-رنگ آمیزی یال-وزن دهی و نتایج مربوط به این مفهوم است. به ویژه روند بهبود نتایج در تلاش برای اثبات این حدس و نتایج حاصل از آن را مورد بررسی قرار خواهیم داد. بدین منظور ضمن جمع آوری کلیه نتایج به دست آمده و روشهای مشابه رنگ آمیزی، تعمیم این نوع رنگ آمیزی و بهبود نتایج مورد توجه می باشد. در این فصل به معرفی و دسته بندی رنگ آمیزی های مشابه و بعضاً مرتبط پرداختیم و در هر مورد نتایجی را که تا به امروز به دست آمده است، اجمالاً بیان کردیم. محور اصلی این پایان نامه حدس $3$-$2$-$1$ و بررسی وزن دهی یالی نظیر آن است. لذا تعیین مقدار پارامتر $mu$ و نشان دادن درستی حدس برای خانواده های معروف از گراف ها و نیز بیان شرایط کافی برای اطمینان از برقراری حدس مدنظر می باشد. در این مسیر مسأله یافتن گراف هایی با $mu(g)leq2$ اهمیت پیدا می کند که در فصل سوم به تفصیل به آن خواهیم پرداخت. هم چنین در این فصل در مورد دسته بندی گراف های دوبخشی بر اساس پارامتر $mu$ بحث خواهیم نمود. در آخرین فصل از این نوشتار، مسأله یافتن یک یال-وزن دهی برای گراف $g$ با استفاده از دو عدد حقیقی را بررسی می کنیم. هم چنین نتایج جدید مستخرج از این پایان نامه تحت قالب مقاله ای در دسترس قرار گرفته است cite{ourpaper}.