کویلن برای تعریف و مطالعه گروه های k از مراتب بالای یک حلقه از ابزار توپولوژی جبری از جمله گروه های هموتوپی و گروه های همولوژی یک فضای خاص استفاده کرد. این فضا، ساختار مثبت فضای رده بندی گروهgl(r) از یک حلقه (فصل سوم، بخش سوم) است. این فضا را با نماد bgl(r)+ نمایش می دهند. می توان ثابت کرد که یک ساختار h - فضا روی فضای bgl(r)+ وجود دارد. نگاشت هرویتز از توپولوژی جبری، گروه های k را به همولوژی gl(r) ارتباط می دهد. در این پایان نامه ما این ارتباط را برای گروه سوم k یک حلقه مطالعه می کنیم. برای اینکار ما از مفاهیمی همچون، هموتوپی های مراتب بالا، قضیه ی هرویتز، h - فضاها، مجتمع های سلولی، کلاف هوپف، فضاهای رده بندی، ساختار مثبت و غیره استفاده می کنیم.