هدف اصلی این پایان نامه مطالعه گراف اشتراکی وابسته به گروه ها و حلقه ها است. درابتدا گراف اشتراکی گروه های آبلی متناهی و نیز گروه های دوری متناهی را مورد مطالعه قرار داده ایم و برخی خواص از جمله مجموعه مستقل، عدد استقلال، همبندی و قطر آن ها را مشخص نموده ایم. سپس به معرفی گراف ماکسیمال در یک گروه پرداخته ایم که رئوس این گراف زیر گروه های بیشین گروه می باشند. در این قسمت گراف ماکسیمال را در حالی که g یک گروه متناهی ساده ویا غیر ساده باشند را مورد بررسی قرار داده ایم. بطور مثال ثابت کرده ایم که اگرg یک گروه ساده و متناهی باشد گراف ماکسیمال آن همبند و قطر آن حداکثر 62 است. در خاتمه به معرفی گراف اشتراکی حلقه ها پرداخته شده است و در حالی که این گراف مسطح باشد ساختارحلقه مربوطه را تعیین نموده ایم.