: در این رساله، ابتدا اطلاعات سودمند و پایه ای در مورد فضاهای نرم دار ، باناخ و فضاهای ضرب داخلی و هیلبرت ارائه می شود. در ادامه مطالب مفصلی راجع به توابع محدب وشبه محدب و دیفرانسیل پذیری آنها، گردآوری وتألیف شده است. درفصل آخر ابتدا تعمیم نامساوی کلاسیک گراوس روی فضای ضرب داخلی، بیان می شود. سپس با تجزیه وتحلیل دقیق مقال? : a gruss type inequality for sequencs of vectors in inner product spaces and applications volume 1 , issue 2, article 12, 2000. به بحث در مورد نامساوی نوع گراوس زیر می پردازیم، فرض کنید (h;?.,.? ) یک فضای ضرب داخلی روی میدان k باشد که: ,x_i,y_i?h ,k=r,c p_i?k و ,p_i?0و (i=1,2,…,n)(n?2) ?_(i=1)^n?p_i =1. اگر x,x,y,y?hبه طوریکه : re?x-x_i ,x_i-x??0و re?y-y_(i ),y_i-y??0 ?i?{1,2,….n} آنگاه نامساوی زیر برقرار می باشد، |?_(i=1)^n??p_i ?x_i ,y_i ? ?-??_(i=1)^n??p_i x_i ? ,? ?_(i=1)^n??p_i y_i ?? ? |?1/4 ?x-x??y-y?. در ادامه، کاربردهای این نامساوی برای توابع محدب دیفرانسیل پذیر روی فضای ضرب داخلی و تبدیلهایی مانند تبدیل گسست? فوریه وملین بیان می شود