در این پایان نامه ابتدا مروری کوتاه بر براکت های هندسی و برخی ساختارهای مربوط کرده ایم و از روی براکت یاکوبی ساختار یاکوبی را مطرح کرده ایم و برای اولین بار تمام ساختارهای یاکوبی را بر روی جبرهای لی سه بعدی حقیقی (جبرهای بایانکی) محاسبه کرده و به روش مشابه ساختارهای یاکوبی را بر روی جبرهای لی چهار بعدی حقیقی به دست آورده ایم. در آخر، برای اولین بار مدل سیگمای غیر خطی دو بعدی را با استفاده از ساختار یاکوبی در حالت کلی بر روی خمینه معرفی کرده و برای نمونه برای گروه a4,8 بدست آورده ایم و انتگرال پذیری آن را با استفاده از نمایش انحنای صفر معادلات حرکت که مساوی با شرط انتگرال پذیری مدل سیگمای غیر خطی است به دست آورده ایم.