در این پایان نامه حلقه های با شرط پوچ ساز و حلقه هایی که فضای ایده آل های اول مینیمال آن‎،‎ فشرده هستند را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. با شروع از تعمیم تعریف شرط پوچ ساز روی حلقه های نشان می دهیم که چندین توسیع روی حلقه های نیم اول ‎قابل تعریف است‎.‎ به علاوه‎،‎ شرط پوچ ساز را روی شکل هایی از حلقه های ماتریسی و حلقه های خارج قسمتی کلاسیک بررسی می کنیم. در پایان به بررسی رابطه هایی بین خاصیت ‎(a)‎ وشرط پوچ ساز روی حلقه های خارج قسمتی کلاسیک راست می پردازیم، به طوری که چندین نتیجه از حلقه های جابه جایی با شرط پوچ ساز را می توان به حلقه های ناجابه جایی توسیع داد نتیجه از حلقه های جابه جایی با شرط پوچ ساز را می توان به حلقه های ناجابه جایی توسیع داد