هدف از مشخص کردن عدد تعیین کننده در رنگ آمیزی رأسی یک گراف یافتن کمترین تعداد رأس است به طوری که رأس های باقیمانده با ترتیبی خاص به اجبار رنگ بگیرند. در این پایان نامه،عدد تعیین کننده در حاصلضرب دکارتی گراف های پر کاربرداز قبیل دور،مسیر و گراف های کامل را بررسی می کنیم. سپس دسته خاصی از گراف ها به نامuvc را مورد مطالعه قرار می دهیم و نتایجی در مورد حاصلضرب دکارتی این دسته از گراف ها رابیان می کنیم. در پایان نوع خاصی از رنگ امیزی رأسی به نام رنگ آمیزی ستاره ای را بیان کرده و در مورد تعدادی از گراف ها به کار می بریم و عدد تعیین کننده ستاره ای آنها را محاسبه می کنیم.