در جبرهای c* مفهومی به نام -c*محدب و -c*فرین وجود دارد که تعریف -c* محدب را در قسمت تعاریف اصلی خواهیم آورد و تعریف نقاط c^*- فرین را از مقاله ی لوئبل و پالسن (1981) می اوریم. این نقاط برای زیر مجموعه های k از جبر c*، r=m_n?m_n (c) ،همان نقاط فرین در مقاله ی لوئبل و پالسن(1981)هستند که عکس آن طبق مقاله های هاپنواسر و مور (1981)و فارنیک و مورنز (1993)بر قرار نمی باشد. طبق مقاله ی لوئبل و پالسن(1981)حالت دیگری از قضیه کراین میلمان برای مجموعه های فشرده - c^*محدب برقرار است و در واقع اخیراً برای زیر مجموعه های mn این چنین قضیه ای توسط مورنز (1994) ثابت شده بود که از بعضی کارهای قبلی فارنیک (1992) و فارنیک و مورنز استفاده شده. درفصل 3 این پایان نامه قضیه 3-2-2 را در حالت کلی برای عامل های ابرمتناهی بیان کرده و اثبات آن را به کمک قضیه های زیرنشان خواهیم داد. قضیه: فرض کنید r یک عامل دلخواه باشد و وجود داشته باشد به طوری که یک زیر عامل (شامل همانی r) ایزوموف با mn باشد. آنگاه برای هر به طوری که wn(x)به عنوان زیر مجموعه ای از a در نظر گرفته می شود و a توسط mn مشخص می شود (با استفاده از یک c*-ایزومورفیسم دلخواه) به علاوه?(k)?k برای هر نگاشت کاملاً مثبت یکانی و هر زیر مجموعه محدب c* فشرده ی ضعیف ستاره ی k از r. قضیه: فرض کنید r یک جبرc* یکانی و a یک زیر جبر c* شامل همانی r باشد به طوری که برای هر یک امید شرطی وجود داشته باشد که . اگر k زیرمجموعه محدب c* از r باشد که?(k)?k برای هر نگاشت کاملاً مثبت یکانی ، آن گاه ?ext?_a (k?a)??ext?_r (k). هم چنین درفصل 3 لم زیر را برای اثبات قضیه3-1-3 استفاده کرده و لم 3-2-2 را نیز اثبات خواهیم کرد. قضیه: فرض کنید a یک جبرc* یکانی باشد و am,…,a1 عناصر a و p یک حالت روی a در بستار ضعیف ستاره حالت های محض باشد. آن گاه برای هر وجود دارد عنصر به طوری که و برای i=1,…,m. پس از آن در فصل 4، قضیه 3-1-3 را در حالت r=mn توسط نتایجی از مقالات فارنیک (1992) و مورنز (1994) یا مقاله ی وبستر و وینکلر(1999 ) اثبات خواهیم کرد. خاطر نشان می شویم که وجود نقاطc^* _ فرین از زیرمجموعه هایc^* _محدب فشرده ی ضعیف ستاره ی k از یک جبر دلخواه فون نویمان در مقاله ماگاجنا اثبات شده اما نقاط فرین بدست آمده از مقاله ماگاجنا دلخواه است و برای تولید کردن k مناسب نیست. بنابراین برای جبرهای دلخواه فون نویمان این مسئله که هر زیر مجموعه -c*محدب فشرده ی ضعیف ستاره توسط نقاط -c*فرینش تولید می شود، هنوز حل نشده است. ?