در این رساله به بررسی سیستم های تکرار تابع می پردازیم. ابتدا، روی هر منیفلد همبند و فشرده ی m-بعدی یک سیستم تکرار تابع از رده ی c1 می سازیم که به صورت استوار کمین بوده و فقط با تعداد سه مولد ساخته می شود، که نتیجه اصلی مقاله ]10[ را بهبود می دهد. سپس، جاذب های تصادفی پادضرب ها با تارm-بعدی و فشرده ی m و مجموعه های ? نامرئی آنها را بررسی می کنیم. برای هر ، ، مجموعه ی rn را در فضای پادضرب های روی نعل اسب و با تار m می سازیم که دارای خواص زیر باشد. هر پادضرب c2 از rn دارای یک جاذب تصادفی با ناحیه ی ? نامرئی با نرخ ? و با اندازه ی قابل مقایسه با جاذب تصادفی است بقسمی که ثابت لیپشیتز توابع و معکوس های آنها بیشتر از l نمی باشد. مجموعه ی rn گویی به شعاع o(n-3) در فضای پادضرب های روی نعل اسب با متر c1 است. بویژه، اختلال های کوچک این پادضرب ها در فضای دیفیومورفیسم ها نیز دارای جاذب هایی با خواص مشابه متریک می باشند. بعلاوه، پادضرب هایی که کره ی m بعدی را به عنوان تار اختیار می کنند، ساختاری پایداری دارند. در نهایت، یک رده از پادضرب ها را معرفی می کنیم که دارای تاری به صورت یک چنبره ی دو بعدی می باشند. بقسمی که هر پادضرب از این رده دارای یک اندازه ی ناهذلولوی، ارگودیک و ناوردا با دو نمای لیاپانوف صفر مرکزی است. این اندازه به صورت حد اندازه های ناوردا می باشند که به صورت یکنواخت روی مدارهای تناوبی تجمع کرده اند. بویژه، شرایط کافی برای ارگودیک بودن اندازه ی حدی داده می شود. این شرایط ایجاب می کنند تا دو نمای لیاپانوف صفر ایجاد گردند.

در این پایان نامه یکی از مدل های زنجیره غذایی سه گونه ای با تأخیر را معرفی می کنیم که در آن پایداری سراسری از نقطه تعادلی درونی مثبت و نقطه تعادلی مرزی با به کار گیری تابع لیاپانوف مناسب تعیین می شود. انشعاب هاف از مدل که زمان تأخیر به عنوان پارامتر انشعاب در نظر گرفته شده، را بررسی می کنیم. همچنین انشعاب هاف از مدل، را برای دو پارامتر دیگر از پارامتر های مدل بررسی می کنیم. و در پایان تجزیه تحلیل عددی برای بررسی بیشتر نتایج تحلیلی ارائه شده است.