در رساله، ابتدا به مفهوم اندازه ی تصادفی متقارن می پردازیم و نتایجی جدید در ارتباط با آن به دست می آوریم. سپس در راستای بررسی همگرایی مجموع های تصادفی ریمان به انتگرال برای یک تابع حقیقی، به تصادفی سازی دنباله ی افرازهایی که مجموع تصادفی ریمان بر آن پایه تعریف می شود، می پردازیم و بدین ترتیب، گامی بیشتر در تصادفی سازی مجموع یاد شده برمی داریم. در ادامه مفهوم مجموع تصادفی ریمان را که تاکنون روی بازه ی (0و1) تعریف شده است، را به فضای مجردی که دارای ویژگی هاییست گسترش می دهیم. درپایان، همگرایی دنباله ی مجموع های یادشده را که ریمان- استیل یس می نامیم، در احتمال و به طور قریب به یقین به انتگرال تابع بررسی می کنیم.