ارتباط بین تصویرهای انقباضی و امید شرطی برای اولین بار توسط داگلاس روی جبر باناخ l1(x, s, u) به ازای یک اندازه ی احتمال u مورد بررسی قرار گرفت. با گسترس مفهوم امید شرطی به جبرها همواره ارتباط بین تصویر های انقباضی و امید شرطی در جبرهای نرمدار مورد توجه بوده است. در این پایان نامه ابتدا به بررسی این ارتباط در جبرهای باناخ برآمده از آنالیز هارمونیک می پردازیم و در ادامه جبر باناخ lp(v) و جبرهای باناخ دوگان را مورد توجه قرار می دهیم. به عنوان نمونه نشان می دهیم اگر هر –lتصویر روی m(g) یک امید شرطی باشد آنگاه g گسسته و تابدار است و برعکس. به همین ترتیب سعی می کنیم رابطه ی بین تصویرهای انقباضی و امید شرطی را باساختار جبری و توپولوژیکی گروه از جمله فشردگی همبندی و گسستگی و... مورد واکاوی قرار دهیم.