آنالیز پایداری سیستم ها و فرآیندهای بدون تاخیر ساده می باشد. زیرا تعداد ریشه های معادله مشخصه سیستم حلقه بسته محدود است. اما وقتی که تاخیر به دلایل مختلف وارد سیستم می شود آنالیز پایداری سیستم را دچار مشکل می کند. زیرا این بار تعداد ریشه های معادله مشخصه سیستم حلقه بسته نامحدود می شود. در حالت بدون تاخیر معادله مشخصه سیستم یک چندجمله ای خواهد بود که پایدارسازی آن با روش های شناخته شده نظیر روث-هرویتز امکان پذیر است. در صورت وارد شدن تاخیر به سیستم، معادله مشخصه دیگر چندجمله ای نخواهد بود که آن را شبه چندجمله ای می نامیم. pontryagin جزء اولین محقق هایی بود که راجع به ریشه های این شبه چندجمله ای ها بحث کرد. در اینجا قضیه hermite-biehler یا به اختصار قضیه h-b مطرح می شود که نسخه اصلی آن برای پایدارسازی چندجمله ای ها به کار گرفته می شود. این محقق نسخه تعمیم یافته ای از این قضیه مطرح کرد که قابل استفاده برای این شبه چندجمله ای ها می باشد. در تحقیقات قبلی کنترلر pid به فرآیند مرتبه اول و مرتبه دوم تاخیردار اعمال شده و با استفاده از این قضیه تعمیم یافته h-b، فضای پایدار کننده بهره های کنترلر طوری تعیین شده است که معادله مشخصه سیستم پایدار هرویتز شود. ما در این پایان نامه کنترل کننده مرتبه اول به فرآیندهای مرتبه اول و مرتبه دوم تاخیردار اعمال می کنیم. همچنین، خانواده کنترلر pid و کنترل کننده مرتبه اول به فرآیندهای مرتبه اول و دوم انتگرالی تاخیردار اعمال می کنیم. در همه این حالات فضای پایدارسازی بهره های کنترلر را طوری تعیین می کنیم که معادله مشخصه سیستم حلقه بسته پایدار هرویتز شود.