فرض کنید rیک قلمرو صحیح با میدان کسرهای k و r بستار صحیح rدر k باشد. ابتدا ایده آل های قوی و قویا اولیه را به عنوان دو تعمیم از ایده آل قویا اول معرفی کرده و نشان می دهیم این ایده آل ها با هر ایده آل اول از r مقایسه پذیرند. سپس به کمک ایده آل های قویا اولیه، دامنه های تقریبا شبه ارزیابی (apvds) را تعریف می کنیم. ویژگی های حلقه r را به عنوان یک apvd بررسی کرده و به ارتباط r با حلقه های بالایی خودش، به خصوص r می پرازیم. همچنین به ارتباط ایده آل های قوی و قویا اولیه در دامنه های مساعد اشاره خواهیم کرد. در ادامه ایده آل های شبه قویا اول را تعریف کرده و سپسبه کمک این ایده آل ها، یک کلاس جدید از قلمروهای صحیح موضعی به نام دامنه های شبه تقریبا ارزیابی (pavds) را معرفی می کنیم. همچنین، در ضمن بررسی ویژگی های pavdها، ارتباط آنها را با دامنه های ارزیابی، pvdها، avdها، apvdها و دامنه های موضعی(با ایده آل های اول خطی مرتب) مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان pavdهای d+m- ساختار را مشخص کرده و به چگونگی ارتباط حلقه r به عنوان یک pavd با حلقه های بالایی خودش، به خصوص r می پردازیم.