?طی دو دههی گذشته مبحث بلورهای فوتونی و ادوات مشتق شده از آنها توجه بسیاری از دانشمندان را بهخود جلب? ?کرده است. بلورهای فوتونی]1[ کاربردهای متعددی دارند که از اینجمله میتوان به فیبرهای نوری حفرهدار اشاره کرد. این? ?نوع جدید از فیبرهای نوری اپتیکی در دو دههی گذشته پیشرفت چشمگیری داشتهاند. آنها دارای ساختار میکرونی بوده و? ?غالباً به فیبرهای نوری بلورهای فوتونی ? p cf?معروفند. راسل و همکارانش اولین کسانی بودند که در این زمینه فعالیت? ?داشتند ]2[ . اولین نوع فیبرهای نوری بلورهای فوتونی ]3[ در سال 6991 میلادی ساخته شد. فیبرهای نوری مزیتهای? ?اپتیکی فراوانی را بههمراه داشتهاند اما فیبرهای نوری بلورهای فوتونی قادرند امکانات ویژهای در مقایسه با فیبرهای نوری? ?معمول برای ما مهیا سازند، از جمله میتوان به موارد زیر اشاره کرد: در محدودهی فرابنفش تا فروسرخ میتوانند به صورت? ?تکمد کار کنند ، از طرفی میتوان با تغییراتی در ساختار آنها پاشندگی را کاهش داد. همچنین میتوان هدایت موج با? ?خصوصیات ناحیهی ممنوعه را داخل مغزی محتوی هوا داشته باشیم و یا با استفاده از مواد غیرخطی در داخل مغزی هدایت? ?موج را از طریق بازتابش کلی در ناحیهی نوار ممنوعه داشته باشیم. استفاده از نور لیزر در آزمایشهای گوناگون سبب آشکار? ?شدن جنبههای غیرخطی مواد در مقابل شدت نور گردید، اولین بار فرانکن و همکارانش در سال 1691 میلادی با تاباندن نور? ?قرمز لیزر یاقوت بر روی بلور کوارتز توانستند هماهنگ دوم را بهطور تجربی مشاهده کنند. از آن تاریخ به بعد تولید هارمونیک? ?دوم در ادوات مختلف اپتیکی مورد مطالعه قرار گرفت ]4[ و تاثیر و کاربردهای این اثر غیرخطی مورد توجه واقع شد ]5[ .? ?با توجه به تمرکز شدید نور در مغزی فیبرهای نوری بلورهای فوتونی، اثرات غیرخطی در این فیبرها فزونی مییابد و مطالعه? ?تاثیر اثرات غیرخطی از جمله تولید هارمونیک دوم بر عملکرد این فیبرها اهمیت بیشتری مییابد ]6[ . روشهای متعددی? ?برای بدست آوردن پارامترهای انتشار در فیبرهای نوری موجود است ]7[ ، ولی با توجه به اینکه در فیبرهای نوری حفرهدار? ?اختلاف ضریب شکست بین مواد بکار رفته بالاست، لذا روشهای خاصی، میتوانند جوابهای دقیقی برای پارامترهای انتشار? ?پیشبینی کنند. ازجمله این روشها عبارتند از: بسط موج تخت ]8[ ، توابع جایگزیده ]8[ ، تفاضل متناهی در محدودهی زمان? ?یا فرکانس ]8[ ، عناصر محدود . روش المان محدود ابزار عددی دقیقی برای حل مسائل موجبر و فیبر میباشد . این روش? ?اولین بار در سال 9691 توسط سیلوستر ]9[، ]01[ برای حل مسائل موجبرهای همگن در حوزهی مسائل الکترومغناطیسی? ?به کار برده شد. اولین بار روش اجزای محدود بر حسب دو مولفهی محوریِ میدانهای الکتریکی و مغناطیسی فرمولنویسی? ?شد ]11[ . اما تحلیل عددیِ فیبرهایی با ساختارهای پیچیده حداقل دو متغیر وابسته نیاز دارد و بنابراین باید برداری بررسی? ?میدان الکتریکی و سه مولفهی میدان مغناطیسی با استفاده از توابع درونیابی نردهای تقریب زده میشوند ]21[ ، از نظر? ?محاسباتی روش سنگینی است. متأسفانه تمام روشهای برداری منجر به ظهور مدهای اضافی میشوند ]31[ . مدهای اضافی،? ?جوابهای ریاضی معادلهی موج برداری هستند و هیچگونه منشأ فیزیکی ندارند و نباید با مدهای واقعی اشتباه شوند، بنابراین? ?داشتن یک روش حل برداری مناسب برای حذف و یا تشخیص اینگونه مدها کاملاً ضروری است. کنراد ]41[ در تز دکترای? ?خود بیان میکند که مدهای اضافی به دلیل طبیعت غیرسیملولهای توابع تقریبی اجزای محدود برداری به وجود میآیند. در? ?ادامهی کارِ وی محققان بسیاری تلاش کردند که شرط سیملولهای بودن شار میدان را در مورد توابع تقریبی اجزای محدود? ?برداری اعمال کنند و توانستند با استفاده از روشهای مختلف بعضی از این مدها و یا همهی آنها را حذف کنند. اما این? ?روشها اغلب منجر به معادلات ماتریسی بزرگ و پیچیده میشوند. از جمله میتوان به روش تابع پنالتی ]41[ ، ]51[ و روش? ?1? ?قیود اشاره کرد از جمله کارهایی که منجر به تولید مدهای اضافی میشود این است که هنگامی که به بررسی دقیق معادلات? ?ماکسول پرداخته شود، متوجه میشویم در سه بعد، 8 معادله و تنها 6 مجهول وجود دارد و در دو بعد 4 معادله و تنها 3? ?مجهول وجود دارد ]61[ . به این ترتیب تعداد معادلات از تعداد مجهولات زیادتر است بنابراین معمولاً در بعضی روشهای? ?عددی حل معادلات ماکسول، دو عبارت دیورژانس را وارد معادله ماکسول میکنند و آنگاه به حل آن میپردازند ولی در نهایت? ?جوابهای به دست آمده را با عبارتهای دیورژانس چک نمیکنند در حالی که این کار منجر به حذف بعضی از جواب ها و? ?ایجاد پدیدهای به نام مدهای اضافی 2 میشود. بنابراین در این پایان نامه سعی خواهد شد با جایگذاری جملات دیورژانس? ?درون معادله موج غیر خطی از تشکیل مدهای اضافی جلوگیری شود.? ?این پایاننامه با هدف بررسی هارمونیک دوم در نوعی فیبر نوری میکروساختار به نام فیبر چرخ واگن3 با استفاده از روش? ?اجزای محدود برداری ]61[ شروع خواهد شد. در فصل دوم این پایان نامه به توضیح مختصری از فیبرهای میکرو ساختار? ?و مزیتهای آنان و شرح فیبر چرخ واگن پرداخته خواهد شد. در فصل سوم ، اثرات غیرخطی که مواد در مقابل شدت نور? ?از خود بروز میدهند، بیان خواهد شد و معادلات پایهای اپتیک غیرخطی بررسی میشود و نگاهی هم به اثرات غیرخطی از? ?جمله تولید هارمونیک دوم و کاربردهای آن خواهد شد. در فصل چهارم توضیح مختصری در مورد روش اجزای محدود و? ?1? ??constraints method?? ??spurious?? ?3? ?)?wagon wheel (ww?? ?2? ?روش اجزای محدود به حل آن پرداخته شد. نتایج حاصل از حل معادلهی ویژه ماتریسی را با استفاده از کدنویسی در محیط? ?نرمافزاری متمتیکا4 و با استفاده از سیستم نرمافزاری سینا، گزارش کرده و نمودارهای مربوط به توزیع میدانهای ساختار نام? ?برده شده بررسی خواهد شد. در فصل ششم به بررسی نتایج و تحلیل جوابها پرداخته میشود?