در این رساله دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول ‎egin{eqnarray*}‎ ‎frac{dy_{1}}{dt}=( i ho r_{2}(t)+frac{p(t)}{i ho r_{1}(t)})y_{2}‎ , ‎qquad frac{dy_{2}}{dt}=‎ ‎i hofrac{1}{r_{1}(t)}y_{1}‎ , ‎quad tin[a,b]‎ ‎end{eqnarray*}‎ را در نظر می گیریم که در آن توابع حقیقی ‎$r_{1}$‎ و ‎$r_{2}$‎ می توانند صفرهایی درون ‎$(a,b)$‎ داشته باشند. در ابتدا با تعویض متغیرهای مناسبی، دستگاه فوق را به یک معادله استورم-لیوویل دارای تعداد متناهی نقطه برگردان تبدیل می کنیم و فرم حاصلضربی جوابها، قضایای یکتایی جواب مساله عکس و نیز یکتایی جواب معادلات دوگان متناظر با مساله مقدار مرزی را بیان می کنیم‎.‎ یکی از اهداف اصلی این رساله بررسی ارتباط بین دو مفهوم نقطه برگردان و تکینگی در مسایل عکس معادله استورم-لیوویل می باشد که برای دستیابی به این هدف، معادله دارای نقطه برگردان را به معادله ای با تعداد متناهی نقطه تکین تبدیل و سپس جواب حاصلضربی آن محاسبه، قضیه یکتایی جواب معادله دوگان در این حالت اثبات و در ادامه با دو روش عملگر و حاصلضرب نامتناهی، جواب مساله عکس ارایه می شود. هدف دیگری که به آن دست یافته ایم، بررسی پایداری جواب مساله عکس در هر یک از حالات فوق است که در فصل پنجم نتایج بدست آمده بیان گردید. لازم به ذکر است حالتی که دستگاه معادلات دارای تعداد متناهی نقاط قطب و برگردان منطبق بر هم باشد نیز مورد مطالعه قرار گرفته است.

هدف این پژوهش مطالعه ی معادله ی دیفرانسیل ?y ??y?? + ( 0 (x ?? a)2 + q(x))y = y است. در این مطالعه، مسأله ی عکس y(0) = تحت شرایط اولیه مشخص به همراه شرط مرزی 0 به همراه یکتکینگی از نوع بسل در یکنقطه x > روی نیم خط 0 ? متناظر با عملگر استورم-لیوویل را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین طیف های مسأله مقدار مرزی و ویژگی های a > درونی مانند 0 آن ها را مورد مطالعه قرار داده و پس از ارائه ی فرمول های مجانبی برای جواب های اساسی مسأله ی توابعی ناپیوسته هستند، تابع مشخصه و تابع ویل را معرفی و شکل مجانبی x = a مقدار اولیه که در ) را ثابت کرده و q(x) آن ها را تعیین می نماییم سپس قضیه یکتایی برای جواب مسأله ی عکس ( تابع یک الگوریتم برای بازسازی جواب مسأله ی عکس ارائه می کنیم و در پایان شرایط لازم و کافی برای حل پذیری مسأله ی عکس را مورد بررسی قرار می دهیم.