فرض کنید ‎g‎ گراف دوبخشی مسطح باشد که دارای جورسازی های کامل است. یک گراف همبند، مقدماتی نامیده می شود اگر اجتماع همه جورسازی های کامل آن یک زیرگراف همبند را تشکیل دهد. در این رساله شرایط مختلف مقدماتی بودن گراف های دوبخشی را بیان می کنیم. فرض کنید ‎g‎ گراف جورسازی های کامل ‎g‎ است که رئوس آن متناظر با جورسازی های کامل ‎g‎ می باشند. در این جا بعضی از ویژگی های ‎m_g‎ مطالعه شده است. یکی از اهداف این رساله مطالعه شرایط لازم و کافی‏، برای این که دو جورسازی کامل از ‎g‎ متعلق به یک مولفه همبند از ‎m_g‎ باشند و همچنین بررسی شرط همبند بودن ‎m_g‎ است. در ادامه به معرفی چندسلولی ها می پردازیم. مشاهده می شود که در چندسلولی ها با جورسازی های کامل نیز می توان گراف ‎m_g‎ را به دست آورد، به این ترتیب که در ‎m_g‎ دو رأس مجاور هستند اگر تفاضل متقارن دو جورسازی کامل متناظر آن ها دقیقاً شامل یک دور باشد. همچنین به ویژگی همبندی گراف ‎m_g‎ در چندسلولی ها توجه شده است. ثابت می شود که همبندی گراف m_g در چندسلولی ها‏، به جز در دو مورد برابر با درجه مینیمم آن است. در پایان‏، به عنوان یک کاربرد به آجربندی چندسلولی ها می پردازیم.

در تئوری مجموعه ها ، یک راه برای ساختن یک مجموعه جدید از مجموعه های داده شده ، استفاده از برخی عملها می باشد . در بین اعمال مختلف ، سه عمل مقدماتی و پایه ای وجود دارد که عبارتند از اجتماع اشتراک و تفاضل دو مجموعه داده شده، با در نظر گرفتن سه عمل فوق و خواص آنها می توان سیستمهای جدیدی از قبیل جبرهای بولی را معرفی نمود. با استفاده از خواص اجتماع و اشتراک مجموعه ها در سال 1996 امی و ایزیکی جبرهای bck را معرفی نمودند این مفهوم دو منشا داشت تفاضل مجموعه ها و خواص آنها و منشا دیگر محاسبات روی گزاره های منطقی کلاسیک و غیر کلاسیک بود. معرفی مشبکه ها و خواص آنها نشان می دهد که جبرهای bck نیز نوعی مشبکه هستند . جبرهای bck تعویض پذیر توسط گرازیانو و دیورنس کیج به صورت زیر معرفی شدند:جبر bck (0,*;x) دارای خاصیت حذفی نسبی است اگر برای هر x,a,b در x که x>=a , y>=a , x*a=y*a داشته باشیم x=y . ثابت می کنیم که اگر (0,*;x) یک جبر bck تعویض پذیر بالایی باشد آنگاه خاصیت حذفی نسبی دارد.عملگر دوتایی + را روی bck جبر تعویض ÷ذیر با خاصیت حذفی نسبی (0,*;x) به این صورت تعریف می کنیم: اگر a+b در x تعریف شده باشد و a+b=c اگر و تنها اگر c>=a و b=c*a و خواص آن را به طور مفصل بیان می کنیم و بیان می کنیم که اگر (0,*;x) تعویض پذیر باشد به ازای هر x,y,z در آن x*y,x*z دارای یک کوچکترین کران بالا در x هستند. bck جبر (0,*;x) را ددکیند کامل بالایی می گوییم در صورتی که هر زیر مجموعه غیر تهی از x که در x یک کران بالا دارد در آن یک کوچکترین کران بالا نیز داشته باشد. bckجبر (0,*;x) را ددکیند کامل پایینی می گوییم در صورتی که هر زیر مجموعه غیر تهی از x که در x یک کران پایین دارد در آن یک کوچکترین کران پایین نیز داشته باشد. bck جبر (0,*;x) را ددکیند کامل می گوییم در صورتیکه ددکیند کامل پایینی و ددکیند کامل بالایی باشد. هر جبر bck تعویض پذیر (0,*;x) با خاصیت حذفی نسبی یک زیر حاصل ضرب مستقیم از جبرهای bck تعویض پذیر خطی است.

. به علت دگرگونی واکنش های متعددی بین کانی ها صورت گرفته و بافت های واکنشی با اطلاعات پترولوژیکی با ارزش در سنگ ها حفظ شده اند. با مطالعات دقیق صحرائی و پتروگرافی، واکنش های دگرگونی با استفاده از بافت های واکنشی در نمونه های سنگی استنتاج شدند. محاسبات ترمودینامیکی واکنشها و نمودار دما- فشاری حاصل از این مطالعات وجود دو مسیر دمائی- فشاری کاملا متمایز و در جهت مخالف را در منطقه الوند نشان می دهد. مسیر دمائی- فشاری اول که عکس عقربه های ساعت است دگرگونی سنگ ها در شرایط دمای بالا- فشار پائین که منطبق بر قوس آتشفشانی یک سیستم فرورانشی است را نشان می دهد. این یافته بر اساس بافت های واکنشی با یافته سایر محققین بر اساس مطالعات ترمودینامیکی با شیمی کانیها کاملا منطبق است. مسیر دمائی- فشاری دوم (در جهت عقربه های ساعت) افزایش فشار در دمای ثابت (افزایش فشار ایزوترمال) را نشان می دهد.