در این پایان نامه کاربرد زیرگروه های جابه جاگر را در گروه های هموتوپی و گروه های هندسی بررسی می کنیم. نشان می دهیم ‏که اگر x ? a ‎و (a1,…,an) ‎یک ‎n-افراز هم‎تارنسبت به ‎a از x‎‎‏ باشد و n ? 2‎ ‏ به طوری که 1) برای{1,…,n} ?i = {i1,…,ik} ، ?i?i ai یک فضای k(?,1) و همبند مسیری باشد. 2) همریختی القایی نگاشت شمول a ? ai برای هرn 1 ? i ? پوشا باشد که هسته آن را با ri نمایش می دهیم. آن گاه گروه هموتوپی مرتبه 2 تا n فضای x کهi = {i1,…,ik} ? {1,…,n} و 2 ? k ? n به صورت زیر محاسبه می شود: که در آن j = {1,2,…,n}-i است.به ویژه داریم: کاربرد این موضوع ارتباطی است که بین گروه هموتوپی واتصال، گروه رویه ای و گروه بافته برقرار می کند.