این پایان نامه مشتمل برموضوعات زیر می باشد. دربخشی از این پایان نامه به سئوالی که n,m بی.اچ. نیومن 1در سال 2000 مطرح کرده است جواب داده می شود. فرضمی کنیم صدق می کند در صورتی که comm(m, n) در شرط g دو عدد طبیعی باشد.گوییم گروه n با عضوی از m عنصراند عضوی از n وm که به ترتیباز g از n,m برای هردو زیر مجموعه را تضمین کند. g موجود باشد تا آبلی بودن n و m، | g | جابجاشود. چه رابطه ای بین در بخشی دیگرازپایان نامه زیر مجموعه ای از اعضای دوبه دو غیر جابجاشونده با اندازه ماکزیمم(اعدادخوشهای)ازخانوادهگروههایسادهمینیمالرامشخصمیکنیم. وساختارتمام رامورد بررسی قرار می دهیم. ?(ag) 6 گروه های حل ناپذیر با شرط ?7 عضوها ازگروه هایخطیعمومی - p دربخشپایانیعضوهایمولد سینگر، شبه مولد سینگرو را معرفی کرده واعداد خوشه ای آنها را بدستمی آوریم ودرآخرعددخوشه ای gl(3, q) می باشدرا بدست می آوریم. همچنین کران پایینی برای q که رابطه ای برحسب gl(3, q) حدسمی زنیم. gl(3, q) عددخو شه ای کلمات کلیدی: گروه ساده- گروه حل پذیر- اعداد خوشه ای- زیر گروه دوری سینگر-عضوهای مولد سینگر وشبه مولد سینگر- عضو تکتوان