چکیده: ابتدا ضرب های آرنز را در دوگان دوم جبرهای باناخ تعریف می کنیم و سپس نظم آرنز را در این جبرها بررسی می کنیم. انواع میانگین پذیری جبرها را تعریف می کنیم و شرایطی را بررسی می کنیم که تحت آن ها یک جبر باناخ n میانگین پذیرضعیف, (2+n)-میانگین پذیری ضعیف را برای n های طبیعی نتیجه می دهد. سپس شرایطی را مطرح می کنیم که با توجه به آن ها جبرهای باناخ یکدار شده n-میانگین پذیر ضعیف می شوند. در ادامه پس از یک بررسی کامل درباره تعمیم اعمال مدولی جبرهای باناخ, شرط لازم و کافی را برای n-میانگین پذیر ضعیف شدن این نوع جبرها وقتی که n زوج یا فرد باشد, ارائه می دهیم. بالاخره با استفاده از شرایطی که در مورد عملگرهای جبری مطرح می کنیم به سوال بازی که "آیا میانگین پذیری ضعیف, 3-میانگین پذیری ضعیف را نتیجه می دهد؟" پاسخ می دهیم و مثال نقض ارائه می دهیم.