یکی از اساسی ترین مسائل در علوم و مهندسی به دست آوردن جواب دستگاه خطی از معادلات است. نیاز به دقت بالاتر و دستیابی به اطلاعات بیشتر به دلیل پیشرفت علوم مختلف موجب افزایش ابعاد و در نتیجه مشکلات حل این مسئله شده است. محاسبه جواب هنگامی که در دقت متناهی و با تعداد متناهی از عملیات انجام می شود می تواند (از نقطه نظر عملی) بسیار پیچیده یا حتی غیرممکن شود. روش های سنتی کارایی از خود نشان نمی دهند و نیاز به روش های جدید با کارایی بالاتر احساس می شود. پیشرفت های بسیار فن آوری در علوم و مهندسی موجب افزایش چشمگیری در فعالیت های مربوط به روش های تکراری شده است. شش دهه اخیر غنی از پیشرفت ها و توسعه های بسیار است که منجر به فراهم شدن جعبه ابزارهای ارزشمند از الگوریتم ها برای حل مسائل بزرگی شده اند که در مدل های محاسباتی صنعتی و علمی پدیدار می شوند. روش های زیرفضای کریلف با تقسیم به دو دسته روش های با خاصیت بهینگی و روش های با بازگشت های کوتاه (و همچنین روش های ترکیب کننده این دو خاصیت) به عنوان گونه ای از روش های تصویر کارایی خوبی از خود نشان می دهند. تمرکز اصلی این پایان نامه روی برخی از مهم ترین واقعه ها در توسعه (نظری و عملی) روش های زیرفضای کریلف? به خصوص روش های با بازگشت های کوتاه و همچنین روش های ترکیب کننده دو خاصیت ذکرشده برای حل دستگاه های بزرگ با ماتریس ضرایب نامتقارن است. ابتدا تعریف کارایی یک الگوریتم و نکاتی در حل عددی مسائل با ابعاد بزرگ بیان می شود. پس از آن به بررسی نظریه روش های زیرفضای کریلف، تجزیه و تحلیل و پیاده سازی آن ها و سپس روش هایی با کارایی بیشتر استوار بر کاهش بعد القاشده و روش های ترکیبی گرادیان دومزدوج پرداخته می شود. در نهایت به وسیله آزمایش های عددی رفتار همگرایی و کارایی این الگوریتم ها نشان داده می شوند.