: در این پایان نامه با مینیمم سازی تابعک ها روی کره هایی در فضای سوبولفw_0^1,2 سروکار داریم و نتایج اصلی بدست آمده را برای اثبات قضیه ی چندگانگی جواب در مورد مساله ی مقدارمرزی زیر به کار می بریم. {?(-?u(x)=h(x)?|u(x)|?^(s-2) u(x) +?g(x,u(x)) x??@u(x)=0 x???)? در اینجا ?(u)=?.(?u) عملگر لاپلاس ? دامنه ای کران دار در r^n ، ? پارامتر حقیقی,(2و1) ,s? h?c(? ?) تابعی است که می تواند تغییر علامت دهد و g: ?*r?r یک تابع کاراتئودوری است که هیچ شرط رشدی با توجه به متغیر دومش ندارد.در اینجا مساله ی مقدار مرزی فوق را با یک تابعک روی فضای سوبولف w_0^1,2 مرتبط می سازیم به طوری که نقاط بحرانی تابعک به دست آمده,همان جواب های ضعیف مساله ی مقدار مرزی مذکورمیباشند.در نتیجه برای بررسی جواب های مساله ی مقدار مرزی فوق کافی است به مطالعه ی تابعک به دست آمده بپردازیم.