در این پایان نامه هدف، بررسی سقوط آزاد اجسام درون سیالات نانیوتنی است. بر این اساس حرکت اجسام کروی با چگالی های یکسان و قطرهای مختلف درون دو سیال نانیوتنی و دارای تنش تسلیم، لاپونایت و ژل مو، مورد آزمایش و مطالعه قرار گرفته است. سپس رفتارهای متفاوت مشاهده شده در آنها با استفاده از تئوری سیستم های دینامیکی مورد بحث و نتیجه گیری قرار گرفته است. به نظر می آید اجسام در حرکت درون ژل مو دارای سه رژیم حرکتی می باشند که پارامتر کنترل این حرکت ها در آزمایشهای ما، شعاع کره های در حال حرکت است. نکته قابل توجه در حرکت درون ژل نوسانات مشاهده شده در ابتدای حرکت کره های کوچک است که ناشی از برهم کنش اینرسی جسم و کشسانی سیال است. این در حالی است که علاوه بر سه رژیم مشاهده شده در سیال دارای تنش تسلیم ژل مو، حرکت درون سوسپانسیون وشکوکشسان لاپونایت با پیچیدگی هایی همراه است. ما حرکتی را مشاهده می کنیم که در آن سرعت کره ی در حال سقوط دارای افت و خیز است، که می تواند بیانگر رفتار آشوبناک آن باشد.

هندسه طیفی نظریه ای است در هندسه و هم چنین در نظریه معادلات با مشتقات پاره ای که اساساً سعی دارد خواص یک شئ هندسی را فقط با استفاده از رفتار طیف عملگر لاپلاس روی آن شئ بررسی کند. به زبان دقیق تر فرض کنید u یک مجموعه باز اقلیدسی است، می خواهیم بدون نگاه کردن به هندسه ظاهری u، و فقط با در نظر گرفتن طیف عملگر لاپلاس روی u، به شکل هندسی آن پی ببریم. در این پایان نامه با استفاده از فرمول پر کاربرد مجانبی وایل، که در ابتدا هیلبرت تصور می کرد در طول زندگی اش این فرمول اثبات نشود، اما کمتر از دو سال بعد وایل آن را ثابت کرد، و هم چنین با مرور مقاله بسیار مشهودی از کاتس تحت عنوان" آیا می توان شکل یک طبل را شنید." به بررسی این نظریه می پردازیم.