بنابراهمیت مفهوم احاطه کنندگی در تحقیقات امروزی در نظریه گراف و وجود تنوع بیش از هشتاد نوع در آن، انجام این پایان نامه هم ضروری است. در این پایان نامه، به مطالعه مسائل اکستریمال برای عدد احاطه کنندگی رومی روی کلاسهای مختلف از گرافهای n-رأسی و ویژگیهایی از عدد k-احاطه کنندگی رومی پرداخته و ضمن بیان کارهای انجام شده در این زمینه برای گرافهای همبند با n ? 9 رأس، اثبات می کنیم که ?r(g) ? 4n/5, و تعیین می کنیم چه هنگامی تساوی برقرار است. همچنین برای مجموع عدداحاطه کنندگی رومی گراف و عدداحاطه کنندگی رومی مکملش و همچنین حاصلضربشون کرانهای بالا و پایین دقیق برای ارائه می کنیم. از این ایده ها جهت یافتن گرافهای n-رأسی با بزرگترین مقدار ممکن برای حاصلضرب عدداحاطه کنندگی و مکمل عدداحاطه کنندگی ، که همان n است، کمک می گیریم. همچنین برای گراف همبند n-رأسی با مینیمم درجه حداقل 2 ثابت می کنیم کران بالا برابر ?r(g) ? 8n/11. نشان می دهیم که این کران دقیق است و تعیین می کنیم برای چه گرافهایی تساوی برقرار است. در فصلی دیگر، با فرض اینکه g گرافی با مینیمم درجه ? بوده و k یک عدد صحیح است، با شرط خاص یک کران بالا برای عدد احاطه کنندکی k- رومی ثابت خواهیم کرد . ودر فصل آخر نشان خواهیم داد که رابطهgamma_k(g)<gamma_kr(g)<2gamma_k بین عدد k-احاطه کنندگی و k-احاطه کنندگی رومی برقرار می باشد