یافتن زوج ویژه (مقادیرویژه- بردارویژه) مسأله مقدار ویژه تعمیم یافته یکی از موضوعات مهم و اساسی در علوم و مهندسی می باشد. روش های مختلفی مانند الگوریتم های زیرفضای کریلف، آرنولدی و لانزوس برای یافتن زوج ویژه تعمیم یافته وجود دارند. الگوریتم های مونت کارلو زنجیر مارکف یکی ازروش های جایگزین برای این منظور است. در این رساله تعدادی الگوریتم مونت کارلو برای محاسبه زوج ویژه تعمیم یافته ارائه داده ایم. مثال های عددی متنوع نشان می دهد الگوریتم مونت کارلو نیرومند یک الگوریتم کارا در این زمینه است. در انتها، الگوریتم پیشنهادی را برای تحلیل مولفه های اصلی و به ویژه در فشرده سازی تصویر به کار برده ایم.

پایان نامه، علاوه بر معرفی تبدیل سریع فوریه برای قیمت گذاری اختیار، فرمول قیمت گذاری اختیار دیگری از حاصل جمع فرمول بلک-شولز به دست می آوریم. برای مقایسه دو فرمول قیمت گذاری، داده های بازار s&p 500 index ‎ را کالیبره می کنیم. این کالیبره کردن به ما اجازه می دهد تا خصوصیات مدل و رفتار قیمت گذاری در مدل هستون را ارزیابی کنیم.

در این پایان نامه، روش وینر-هوپف که یک روش سریع و دقیق برای قیمت گذاری اختیار مانع برای کلاس گسترده ای از فرایند های لوی است را بررسی می شود. این روش با استفاده از جواب معادله تعمیم یافته بلک شولز و به دست آوردن تقریبی از فاکتورهای این معادله با استفاده از تجزیه وینر و الگوریتم تبدیل فوریه سریع به دست می آید. مقایسه نتایج نشان می دهد که این روش سریع تر و دقیق تر از روش های دیگر است.

امروزه در ریاضیات مالی مدل های نوسانات تصادفی به دلیل نزدیک بودن به مدل های واقعی در بازارهای مالی مورد توجه هستند. تاکنون در مدل های نوسانات تصادفی و قیمت گذاری آنها از حرکت براونی برای ساختن دینامیک سهام استفاده شده است، اما با توجه به اینکه فرایندهای لوی دسته ی بزرگی از فرایندهای تصادفی هستند، در این پایان نامه مدل نوسانات تصادفی با مشتقات فرایند لوی بررسی شده و سپس این مدل برای قیمت گذاری و پوشش ریسک به کار برده شده است. نوسانات تصادفی و اندازه ریسک خنثی در این مدل به ترتیب توسط زنجیر مارکف پیوسته و تبدیل اسچر تعیین می شوند. همچنین قیمت گذاری اختیار با استفاده از روش تبدیل فوریه محاسبه می شود. در انتها یک فرمول بسته برای نسبت پوشش ریسک توسط کاهش پوشش ریسک موضعی ارائه شده است.

امروزه قراردادها متداول ترین ابزارهای مالی هستند. به همین دلیل با افزایش تقاضا برای این ابزار مالی، مساله ی قیمت گذاری قراردادها یکی از مهم ترین مسائل اقتصادی است. با گسترش مدل های تصادفی، نیاز به روش های محاسباتی تصادفی باعث ایجاد رشته ای جدید به نام مهندسی مالی شد. ارائه ی مدل بلک-شولز در سال 1973، معادلات دیفرانسیل جزئی را بیش از پیش مورد توجه افراد در زمینه ی اقتصاد قرار داد. بنابراین برای تعیین قیمت قراردادهای اختیار نیاز به راه حلی ساده ودقیق برای این معادلات دیفرانسیل جزئی است. روش آنالیز هوموتوپی یک روش تحلیلی برای حل معادله های خطی و غیرخطی در اقتصاد و علوم مهندسی است. این روش با تبدیل مسائل پیچیده از معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی به تعداد نامتناهی معادلات دیفرانسیل جزئی خطی حل آن ها را ساده تر می کند و جواب را به صورت سری نامتناهی برحسب یک پارامتر فرضی بیان می کند. این روش، روشی کارا برای حل مسائل با شرایط مرزی است که در اقتصاد برای قیمت گذاری استفاده می شود. هدف از این پایان نامه، استفاده از این روش برای قیمت گذاری مشتقات مالی تحت مدل بلک-شولز است. با استفاده از روش آنالیز هوموتوپی و الگوریتم های مربوط به آن قیمت گذاری اختیار معامله با بررسی مدل بلک-شولز انجام می شود. مقایسه ی روش آنالیز هوموتوپی با روش های عددی دیگر دقت و همگرایی سری جواب بدست آمده از این روش را نشان می دهد.

یکی از مهم ترین و کاربردی ترین جنبه های آنالیز عددی حل معادلات تابعی است. روش آشفتگی هوموتوپی توسط بسیاری از ریاضیدانان و مهندسین برای حل معادلات تابعی مختلف به کاربرده شده است. این روش در سال 1999 توسط خی معرفی و بهبود یافته و برای معادلات غیرخطی موج، مسائل مقدار مرزی، معادلات انتگرال و بسیاری موارد دیگر به کار رفته است. در این پایان نامه، الگوریتم های جدید بر اساس روش اختلال هوموتوپی برای حل معادلات تابعی به ویژه معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه می شوند. برخی مثال ها برای نشان دادن کارآیی و سادگی الگوریتم های جدید بیان می شوند.

طبقه بندی داده ها یکی از موضوعات مهم و تکنیک های کاربردی در علوم و مهندسی می باشد. روش های متفاوتی برای جداسازی داده های دو کلاسه وجود دارد. در این پایان نامه ماشین بردار پشتیبان‎‎‎ را برای‎ طبقه بندی داده های خطی و غیرخطی مورد بحث قرار می دهیم. برای‎‎‎‎‎‎ حل دوگان مسائل‎‎‎‎‎‎‎‎ ماشین بردار پشتیبان‏، از یک الگوریتم تجزیه همگرا‎ استفاده می کنیم. سپس به کمک الگوریتم ارائه شده و نرم افزار cvx مسائل دو کلاسه را حل می کنیم. نتایج حاصل‎‎‎ نشان می دهد که ا‎‎‎ین رویکرد در تشخیص شماره پلاک به نتایج قابل قبولی می رسد.

تعدادی زیادی از روش های عددی کارا برای قیمت گذاری اختیار مطرح شده است. این روش ها را می توان به سه گروه عمده تقسیم نمود. راه حل های عددی برای معادلات انتگرال-دیفرانسایل با مشتقات جزئی، تکنیک های شبیه سازی مونت کارلو و روش های انتگرال گیری عددی. چگالی شرطی بسیاری از فرایندهای قیمت سهام معمولاً ناشناخته است. با این همه تبدیل فوریه این چگالی ها برای مثال توابع مشخصه اغلب در دسترس است. از این رو روش تبدیل فوریه به طور طبیعی در روش های انتگرال گیری عددی در نظر گرفته شده است. در این پایان نامه روش قیمت گذاری اختیارات مانع آمریکایی کارایی بر اسااس بسط فوریه کسینوسی اعمال می شود که در آن تعداد زمان های تاریخ مشاهدات نسبت به تاریخ انقضاء بیشتر است. الگوریتم مربوط به قیمت گذاری اختیار باریر برمودان نیز ارائه شده است. نتایج عددی نشان می دهند که این الگوریتم به خوبی کار می کند و برای مدل های لوی نمایی کارامد می باشد.

در این پایان نامه ضمن معرفی فرایند پرش، کاربرد ا‎‎ین نوع فرایند را در مدل سازی مالی بیان می کنیم. هم چنین تابع‎ خاصی به نام ‎‎hh‎ را معرفی کرده و با استفاده از این تابع‏، مجموع توزیع های نرمال و نمایی ‎‎مضاعف را محاسبه خواهیم کرد. در پایان نیز روشی برای قیمت گذاری اختیارات اروپایی و آمریکایی بر اساس این‎‎ مدل را مطالعه خواهیم کرد.

امروزه در ریاضیات مالی، مدل¬های تلاطم به ¬همراه نرخ¬ بهره تصادفی به دلیل نزدیک بودن به مدل¬های واقعی در بازارهای مالی مورد توجه هستند. این پایان¬نامه قیمت¬گذاری اختیار آمریکایی تحت تلاطم هستون با نرخ بهره تصادفی را مورد بررسی قرار می¬دهد. ابتدا به قیمت¬گذاری این اختیار تحت تلاطم ثابت با روش مونت کارلوی کم¬ترین مربعات پرداخته و با معرفی روش نمایش انتگرال، اختیار آمریکایی تحت مدل هستون قیمت¬گذاری می¬شود. در انتها با بیان مدل نرخ بهره تصادفی و با استفاده از روش مونت کارلوی کم-ترین مربعات به قیمت¬¬گذاری اختیار آمریکایی تحت مدل هستون با نرخ بهره تصادفی پرداخته می¬شود.

در این پایان نامه‎به‎مدل سازی بازارهای مالی می پردازیم و مدل نوسان زمان-‎‎متغیر را در نظر می گیریم. برای این منظور مدل بلک-شولز را به گونه ایی تعمیم می دهیم که در آن تلاطم تصادفی باشد. در واقع با استفاده از خواص فرایند مارکوف و مفهوم رژیم های اقتصادی، رفتار قیمت دارایی پایه را با رژیم سوئیچینگ دینامیکی مدل سازی می کنیم. در مدل ارائه شده، متغیرهای وضعیت غیرقابل مشاهده برای نوسانات سهام به وسیله فرایند مارکوف مدل می شوند و پارامترهای رانش و نوسان مقادیر مختلف وابسته به وضعیت از مدل مارکوف پنهان را اختیار می کنند. همچنین نشان می دهیم که مدل مذکور در یک معادله دیفرانسیل جزیی با شرایط اولیه و مرزی صدق می کند.‎‎‎‎در پایان قیمت گذاری اختیارات اروپایی و آمریکایی، تحت دارایی پایه با مدل رژیم سوئیچینگ مارکوف آورده می شود.

مطالعات متعدد در حوزه مالی نشان داده است که دارایی های مالی معین ممکن است دارای خواصی مانند بازگشت به میانگین، تلاطم تصادفی و یا پرش باشند. در این پایان نامه ضمن مطالعه مدل های بازگشت به میانگین، یک فرم بسته برای قیمت اختیار خرید یا فروش اروپایی تحت یک مدل خاص بازگشت به میانگین با تلاطم تصادفی و پرش بر اساس روش تبدیل فوریه سریع ارائه شده است.