قابلیت اعتماد به عنوان یکی از مفاهیم پرکاربرد آماری، به بررسی علل احتمالی رخداد شکست در سیستم ها یا فرآیند های خاصی که مورد نظر می باشند، می پردازد. از طرفی بررسی روند و چگونگی رخداد شکست ها با معیارهای کمی تابع بقای شرطی، تابع متوسط باقی مانده ی طول عمر و تابع نرخ شکست سنجیده می شود. در بین معیارهای بیان شده تابع نرخ شکست، از معیارهای مهمی می باشد که بیان کننده ی حد احتمال رخداد شکست در بازه ی زمانی (t,t+?t) به شرط آنکه تا زمان t هیچ شکستی رخ نداده باشد، است. روند شکست ممکن است سیر صعودی، نزولی و یا غیر یکنوا را طی کند. به عنوان مثال فرآیند سوختن چوب را در نظر بگیرید. در ابتدا با افزایش زمان طول عمر باقی مانده ی چوب به طور احتمالی کاهش و تابع نرخ شکست صعود می کند. سپس با انجام اعمال پیشگیرانه و توقفآتش سوزی طول عمر باقی مانده نسبت به مرحله ی قبل به طور احتمالی افزایش و تابع نرخ شکست نزول پیدا می کند. در چنین حالتی روند شکست از الگوی تابع نرخ شکست تک مدی پیروی می کند. جیانگ و همکاران (2003) نشان دادند تابع نرخ شکست تک مدی معیار دقیقی برای بررسی خواص طول عمر و روند شکست نمی باشد. آنها برای حل این مشکل تابع شدت را که برابر است با نسبت تابع نرخ شکست بر میانگین آن، به عنوان معیاری برای بررسی خواص طول عمر معرفی کردند. در این پایان نامه ضمن معرفی تابع شدت عمر و بیان بعضی خواص مهم آن، تابع شدت عمر برخی توزیع های مهم قابلیت اعتماد را ارائه خواهیم کرد. توابع نرخ شکست و متوسط باقی مانده ی طول عمر توزیع متغیر طول عمر را به طور یکتا مشخص می کنند. تابع شدت نیز معیاری برای تعیین خواص طول عمر است. بنابراین مشخصه سازی بر اساس این تابع جزء اهاف این نوشتار می باشد. ناهمگنی جوامع آماری مانند جامعه ی کالاهای یک خط تولیدی که می تواند معیوب یا سالم باشد، باعث ایجاد بحث توزیع های آمیخته است و لزوم محاسبه ی تابع شدت برای توزیع های آمیخته از برخی توزیع های پرکاربرد را ایجاد می کند. با توجه به اینکه یکی از راه های مقایسه جوامع آماری استفاده از ترتیب های تصادفی می باشد، در فصل اول این نوشتار چند ترتیب تصادفی مهم و برخی خواص مربوط به این ترتیب ها را بیان خواهیم کرد. سپس بر اساس تابع شدت عمر ترتیب تصادفی شدت عمر را در فصل چهارم معرفی کرده، به بررسی رابطه ی این ترتیب با ترتیب های معرفی شده در فصل اول خواهیم پرداخت. همچنین بررسی خواص ذکر شده برای ترتیب های فصل اول در مورد ترتیب شدت عمر جزء اهداف این نوشتار است. توزیع های وزنی در بسیاری از پدیده های اجتماعی کاربرد دارند. ضمن بیان شرایط برقراری ترتیب های معرفی شده در این رساله در حالت وزنی، حالت های خاصی از توزیع های وزنی را ارائه خواهیم کرد. لازم به ذکر است که علامت * در سرتاسر این تحقیق به معنای جدید بودن مطلب ارئه شده است و ابداع و اثبات آن توسط محقق می باشد.