چکیده گراف توانی متناظر با گروه یا نیم گروه g، گرافی است که مجموعه رئوس آن گروه یا نیم گروه g است و دو عنصر x,y?g مجاورند اگر یکی توانی از دیگری باشد. در این پایان نامه، خانواده نیم گروه های s که g(s) همبند یا کامل است را مشخص می کنیم. ما توجه ویژه ای به نیم گروه ضربی z_n و گروه u_n(گروه یکه های z_n) داریم که g(u_n) یک مولفه مهم ازg(z_n) است و ثابت می کنیم g(u_n) کامل است اگر و فقط اگر n=1,2,4,p یا 2p، که p اول فرما است. در حالت کلی تعداد یال های g(g) برای گروه متناهی g را محاسبه می کنیم و مقادیری از n را که g(u_n) مسطح است مشخص می کنیم. همچنین ثابت می کنیم برای هر گروه دوری از مرتبه بزرگتر یا مساوی با 3، g(g) همیلتنی است و مقادیری از n را که g(u_n) همیلتنی نیست مشخص می کنیم. مشاهده می کنیم که گروه های متناهی غیر یک ریخت، ممکن است گراف-های توانی یک ریخت داشته باشند و ثابت می کنیم گروه های متناهی آبلی با گراف های توانی یک ریخت، خود یک ریخت هستند و تنها گروه متناهی که گروه خودریختی آن با گروه خودریختی گراف توانی متناظر با آن مساوی است، گروه چهارتایی کلاین است. نشان می دهیم دو گروه متناهی با گراف های توانی یک ریخت تعداد یکسانی عنصر از هر مرتبه دارند.