چکیده فرض کنیم g یک گروه باشد مرکز ساز عنصر x?g را به صورت زیر تعریف می کنیم؛ c_g (x)={y?g? است آبلی?x,y? } اگر در این تعریف، کلمه آبلی را با کلمه دوری جایگزین کنیم. یک زیر مجموعه از مرکزساز به دست می آید که به این زیرمجموعه، دوری ساز x در g می گوییم و آن را با cyc_g (x) نشان می دهیم پس؛ cyc_g (x)={y?g? ?x,y?است دوری} همچنین، cyc(g) را به صورت زیرتعریف می کنیم؛ cyc(g)={x?g??x,y?است دوری ,g در yهر برای }=?_(x?g) cyc_g (x) برای هر گروه غیر دوری g، cyc_g (g) یک زیرگروه مرکزی، دوری، نرمال و اشتراک همه زیرگروه های دوری ماکسیمال از g است. ما یک گراف c_g به یک گروه غیرموضعاًدوری g نسبت می دهیم (که به آن گراف غیردوری می گوییم) به طوری که gcyc(g) مجموعه رئوس گراف است و دو رأس مانند x,y مجاورند اگر ?x,y? زیرگروه دوری نباشد. برای یک گراف ساده ?، عدد خوشه ای ? را با ?(?) نمایش می دهیم که بزرگترین اندازه یک زیرگراف کامل در ? است. در این پایان نامه گروه هایی را مشخص می کنیم که گراف غیردوری آن ها عددخوشه ای کمتر از 4 دارند. همچنین ثابت می کنیم که یک گروه غیردوری g حل پذیر است هرگاه ?(c_g )<31 و تساوی برای گروه حل ناپذیر برقرار است اگر و تنها اگر g?(cyc(g)?a_5 یا) s_5.