یکی از مسائلی که در رفتار مجانبی جواب دستگاه های گ.ناگ.ن مورد سوال است، ایجاد دورهای تناوبی است که قسمت دوم مسأله شانزذهم هیلبرت نیز به همین موضوع اختصاص دارد. هیلبرت در این مسأله خواستار یافتن یک کران بالا برای تعداد سیکل های حدی برای دستگاه های چند جمله ای مسطح، شده است. حل این مسأله بسیار مشکل است، لذا آرنولد شکل ضعیف شده ای از آن ارائه کرد که بر مبنای یافتن تعداد ریشه های انتگرال آبلی نظیر با دستگاه مورد مطالعه استوار است. در مطالعه ی بسیاری از پدیده های به دستگاه های نزدیک به همیلتونی برمی خوریم. لذا مطالعه ی این دستگاه ها از اهمیت فوق العاده ای برخوردار است. انتگرال آبلی ظاهر شده در مطالعه ی این دستگاه ها را با نام تابع ملنیکف می شناسند. در این پایان نامه با در نظر گرفتن یک دستگاه نزدیک به همیلتونی که شامل یک حلقه ی زینی پوچ توان گذرا از مبدأ است، پس از یافتن بسط مجانبی تابع ملنیکف مرتبه اول آن، فرمول هایی را برای محاسبه ی ضرائب اولیه ی آن ارائه می کنیم و به یافتن تعداد صفرهای این تابع و در نتیجه یافتن تعداد سیکل های حدی برای دستگاه نزدیک به همیلتونی مورد مطالعه می پردازیم.