در این پایان نامه ساختار گروه های متناهی که دارای 3 اندازه رده مزدوجی هستند را بررسی می کنیم. به ویزه ملاحظه می کنیم که این گروه ها حل پذیر با طول مشتق حداکثر 3 هستند، یا گروه های پوج توان اند. رتبه مزدوجی یک گروه تعداد اندازه های متمایز رده های مزدوجی غیر مرکزی آن گروه است. وجود یک عامل آبلی در حاصل ضرب مستقیم، تاثیری در رتبه مزدوجی ندارد. رده f-گروه ها شامل گروه هایی است که مرکز سازهای عناصر غیر مرکزی آنها دو به دو با توجه به رابظه شمولیت غیر قابل مقایسه هستند. هر گروه با رتبه مزدوجی 2 یا یک f-گروه است یا حاصل ضرب مستقیم یک گروه آبلی و یک گروه با مرتبه توان اول است. اگر g یک گروه غیر پوچ توان با رتبه مزدوجی 2 باشد آن گاه طول مشتق g حداکثر برابر 3 است . اما گروه های پوچ توان بارتبه مزدوجی 2 و رده پوچ توانی به دلخواه بزرگ وجود دارند.