مسأله واگذاری (تخصیص) درجه دوم (qap) ، به دلیل دارا بودن ساختار جالب یکی از مسأله های معروف چالش برامگیز در بهینه سازی ترکیبیاتی است. در این پایان نامه، به بررسی وتحلیل آزاد سازی های مختلف ارائه شده برای مسأله های واگذاری درجه دوم تعمیم یافته (gqap) می پردازیم: در این نوع از مسأله ها، m تسهیلات و n مکان به همراه فضای مورد نیاز تسهیلات، فضای موجود در مکان ها، هزینه استقرار تسهیلات، جریان بین تسهیلات و هزینه مسافت بین مکان ها مفروض هستند. می خواهیم هریک از تسهیلات را دقیقا به یک مکان نسبت دهیم به طوری که هر مکان فضای کافی برای همه تسهیلات اختصاص یافته را دارا باشد و مجموع حاصلضرب جریان تسهیلات در هزینه های فواصل متناظر بعلاوه مجموع هزینه های استقرار کمینه شود. این مسأله، تعمیمی از مسأله معروف واگذاری درجه دوم استاندارد است که یکی از مشکل ترین مسأله ها در بهینه سازی ترکیبیاتی به حساب می آید. یک کران پایین جدید برای مسأله های gqap براساس یک آزاد سازی لاگرانژی جدید، معروف به rlt ارائه می شود. در ادامه همچنین، در حالت خاص، مسأله واگذاری درجه دوم را با ماتریس فاصله همینگ یک ابرمکعب یا یک ماتریس فاصله منهتن شبکه های مستطیلی مورد تحلیل قرار می دهیم و چگونگی بدست آوردن کرانه های پایین برای این دو رده از مسأله های qap را بر اساس بهینه سازی نیمه معین (sdp) مطرح می کنیم. نتایج تجربی نشان می دهند که برای مسأله های qap استاندارد با اندازه حداکثر n=200 می توان کران های قوی تری نیز بدست آورد.