در این پایان نامه گنگ بودن سری چکالوف و اندازه ی گنگی این سری را بررسی می کنیم . همچنین q - تعمیم سزی هارمونیک و سری لگاریتم طبیعی را تعریف کرده ونشان می دهیم که چطور میتوان با استفاده از چندجمله ایهای q-لژاندر تقریبهای گویا برای انها بدست اوردوهمچنین با استفاده از ویژگیهای چند جمله ای های متعامد گنگ بودن این سریها را بررسی می کنیم و برای اندازه ی گنگی آنها کران بالایی بدست می آوریم.