در ارتباط با موضوع این پایان نامه که منجر به استخراج دو مقاله گردید بر اساس تعاریف زیر که برای اولین بار ارائه شده اند به شرح ذیل داریم: 1) ایدآل ابتدائی p از حلقه r یک ایدآل g - ابتدائی نامیده می شود هر گاه حلقه خارج قسمتی r بروی رادیکال p یک g - دامنه باشد. بر اساس این تعریف قضیه اساسی زیر قابل بیان می گردد. قضیه: اگر دامنه r یک دامنه خارج قسمتی اصلی موضعی و لاسکرین باشد در آنصورت هر ایدال غیر صفر از r دارای یک تجزیه g - ابتدائی می باشد. 2)دامنه r یک g - نوع دامنه قوی است هرگاه هر فوق حلقه r به عنوان حلقه روی r بصورت شمارا تولید شده باشد. 3)دامنه r یک حلقه خارج قسمتی شمارا موضعی (lcqr) نامیده می شود هرگاه به ازای هر ایدآل اول p از r حلقه خارج قسمتی r روی p به عنوان حلقه روی r شمارا تولید شده باشد. در این صورت قضیه اساسی زیر قابل بیان خواهد بود. قضیه: با فرض اینکه v یک حلقه ارزیاب باشد در آنصورت گزاره های زیر با هم معادلند: الف) v یک g-نوع دامنه قوی است ب) v یک (lcqr) است ج) هر ایدآل اول v یک g-نوع ایدآل است د) به ازای هر ایدآل اول p از v یا حلقه خارج قسمتی v روی p دارای یک تعداد شمارا ایدآل اول است یا مجموعه همه ایدآلهای اول که p را بطور سره شامل هستند " تحت عنوان f" می توانند به فرم اشتراک شمارائی از fاندیس n ها نوشته شوند که هر کدام از اینها یک مجموعه خوش ترتیب بوده و برخی از آنها نیز ممکن است ناشمارا باشند.

در این پایان نامه به بررسی ایدآل های اوّل و ابتدائی فازی و رادیکال های آنها می پردازیم. ابتدا به تعاریف اصلی و نتایج منطق فازی در فصل اوّل اشاره می کنیم و در فصل دوم به تعاریف و قضایای مربوط به مجموعه ها و ایدآل های فازی پرداخته، درنهایت در فصل سوم خصوصیات ایدآل های ابتدائی فازی ورادیکال آنها درحلقه های تعویض پذیرمورد بحث و بررسی قرارمی گیرد‎.‎ ایدآل ‎$a$‎ از ‎$r$‎ ایدآل ابتدائی فازی است اگر برای هر ‎$a,b in r$‎ داشته باشیم: ‎egin{center}‎ ‎$ ain li(r)‎ ,‎qquad a(ab)geq a(a) rightarrow exists nin n^{+} | qquad a(b^{n})geq a(ab)‎ .‎$‎ ‎end{center}‎ اگر ‎$a$‎ ایدآل فازی حلقه ‎$r$‎ باشد، رادیکال ‎$a$‎ به شکل زیر تعریف می شود: ‎egin{center}‎ ‎$ sqrt{a}(x)=underset{n geq 1}{sup}a(x^{n}).$‎ ‎end{center}‎ درصورتی که ‎$hat{a}$‎ ایدآل فازی حلقه ‎$r$‎ باشد، ‎$hat{a}$‎ ایدآل کاملاً ضعیف اوّل فازی نامیده می شود ‎‎هرگاه، ‎$hat{a}‎ : ‎rlongrightarrow [0,1]$‎ نگاشت ثابتی نبوده و برای هر ‎$x,y in r$‎ داشته باشیم: ‎egin{center}‎ ‎$ hat{a} (xy)=max(hat{a} (x),hat{a} (y))‎. ‎$‎ ‎end{center}‎ در پایان به ازای هر ایدآل ابتدائی فازی یک ایدآل کاملا ضعیف اوّل فازی مرتبط با آن وجود دارد.