گروه های لی پوچ توان با دو گام گروههای لی غیر آبلی هستند که تا حد امکان به گروههای آبلی نزدیکند، با این وجود خاصیتهای جالبی می پذیرند که چنین خاصیتهایی در گروه های آبلی مشاهده نمی شوند. در این پایان نامه به مطالعه هندسه گروههای پوچ توان همبند ساده با دو گام به همراه متریک چپ پایای ریمانی و فینسلری می پردازیم . می توان انتظار دیدن برخی خواص مشابه با فضاهای اقلیدسی مسطح را داشت . چنین خواصی همیشه موجود نیستند. برای مثال ولف نشان داد که هر گروه لی پوچ توان غیر آبلی با متریک چپ پایا باید هر دو انحنای مقطعی مثبت و منفی را بپذیرد و میلنر این نتیجه را به انحنای ریچی تعمیم داد. علاوه بر این میلنر در حالت کلی نشان داد که هندسه هر گروه لی g با متریک چپ پایا به طور قویی انعکاسی از ساختار جبر لی g وابسته به آن می باشد همانطور که خواهیم دید تعداد زیادی از نتایج این فصل این مطالب را روشن می سازد . برای مطالعه هندسه گروههای پوچ توان با دو گام به همراه متریک چپ پایا به روش کاپلن در ]13[، عمل کرده و ترکیب اصلی آن را توضیح می دهیم . فرض می کنیم nیک جبر لی پوچ توان با دو گام به همراه ضرب داخلی <,> و n یک گروه لی پوچ توان همبند ساده با دو گام و با جبرلی n باشد . روی n متریک چپ پایا را طوری نظر می گیریم که توسط ضرب داخلی <,> رویn=t_e n تعیین می شود، سپس فرض می کنیم z نشان دهنده مرکز n و نشان دهنده مکمل متعامد z در n باشد . هر عضوz?z یک تبدیل خطی پاد متقارن با ضابطه تعریف می کند که در آن نشان دهنده الحاقی نسبت به ضرب داخلی <,> است. به طور معادل j(z) به ازای هر توسط معادله تعریف می شود که مکرر کاربرد دارد.