مفهوم بهینه سازی به عنوان یک اصل زیربنایی در تحلیل بسیاری از مسائل پیچیده تصمیم گیری کاملاً پذیرفته شده است. به عنوان نمونه هایی از مسائل بهینه سازی می توان به برنامه ریزی خطی و برنامه ریزی غیرخطی اشاره نمود. برای حل مسائل بهینه سازی نامقید و برنامه ریزی غیرخطی روشهای تحلیلی و تقریبی گوناگونی وجود دارد. برخی روشهای بهینه سازی مبتنی بر محاسبه مشتق توابع غیرخطی می باشند و اگر حداقل یکی از توابع موجود در مسأله مشتق پذیر نباشد نمی توان این روشها را بکاربرد. یکی از روشهای حل تقریبی مسائل برنامه ریزی غیرخطی ،خطی سازی آنها می باشد. روشهای گوناگونی برای خطی سازی توابع غیرخطی بیان شده است. در این روشها اگر تابع غیرخطی تابعی ناهموار باشد نمی توان به راحتی برای آن تقریب خطی تعریف نمود. به علاوه ، در بسیاری از روشهای حل مسائل بهینه سازی نامقید حتی درصورت وجود مشتق نمی توان با اطمینان بهینه سراسری بودن جواب بدست آمده را تضمین نمود. در بعضی موارد هدف ما حل یک مسأله بهینه سازی و تعیین تقریبی جواب بهینه آن با دقت از پیش تعیین شده است. در این رساله برای رسیدن به دقت مطلوب برای مسائل بهینه سازی هموار ابتدا تعداد نقاط مورد نیاز در افراز مطلوب ناحیه شدنی را مشخص می کنیم. پس از آن روی هریک از زیرنواحی این افراز تقریب خطی پارامتری توابع غیرخطی هموار را در نظرمی گیریم با انجام این عمل مسأله برنامه ریزی غیرخطی با دسته ای از مسائل برنامه ریزی خطی تقریب می شود. ازحل این دسته از مسائل برنامه ریزی خطی می توانیم تقریبی برا ی جواب بهینه مسأله برنامه ریزی غیرخطی با دقت مطلوب بیابیم. اگر حداقل یکی از توابع موجود در مسأله مشتق پذیر (هموار) نباشد نمی توان این روشها (ازجمله خطی سازی توابع غیرخطی) را بکار برد. در ادامه این رساله برای مسائلی که شامل توابع مشتق ناپذیر هستند ، مفهوم جدیدی بنام دیفرانسیل ضعیف سراسری برای توابع ناهموار را معرفی می کنیم. با استفاده از این مفهوم می توانیم توابع ناهموار را با توابع قطعه ای خطی تقریب کنیم. بنابراین می توانیم مسائل بهینه سازی که شامل توابع ناهموار می باشند را نیز با هر دقت از پیش تعیین شده حل کنیم.

در این تحقیق چند شبکه ‏ ی جریان با کمان ها و رئوسی که در مواجه با شکست قابل اطمینان هستند معرفی شده و به طور مفصل مورد بررسی قرار می گیرد. مسأله ی پایه ای مورد بررسی در این تحقیق مسأله‏ ی ماکزیمم جریان است. در مسأله ی ماکزیمم جریان، هدف یافتن جریانی از رأس مبدأ به رأس مقصد با ماکزیمم مقدار است به طوری که مقدار جریان عبوری از هر رأس در محدودیت بقای جریان و مقدار جریان روی هر کمان در محدودیت کران جریان صدق کند. در چنین شبکه ای با شکست هر کمان ‏و یا هر رأس جریان ارسالی از مبدأ به مقصد در مسیری که این کمان و یا رأس قرار دارد از بین می رود و در نتیجه مقدار نامعلومی از جریان ورودی به مقصد کم می شود. بنابراین، برای جلوگیری از اتلاف بیش از حد جریان باید شبکه ای با کمان ها و رئوسی که در برابر شکست قابل اطمینان هستند را بسازیم‏، یعنی شبکه ای که بتوان پیش بینی کرد با شکست هر کمان و هر رأس شبکه در بدترین حالت چه مقدار از کل جریان در مقصد کم می شود و این مقدار را به حداقل رساند. ساختن چنین شبکه ای یک موضوع مهم در مباحث بهینه سازی شبکه ها است که در این تحقیق مسیری معرفی شده و به طور مفصل مورد بررسی قرار می گیرد. -k آن را مورد بررسی قرار می گیرد. بدین منظور در این تحقیق ابتدا شبکه ی با ساختار 0<????1معتبر رأسی معرفی شده و در پایان با فرض اینکه - ? معتبر کمانی و -? ، شبکه های با ساختار 0<??1‎سپس با فرض اینکه معتبر -? مسیری، -k متعادل مورد بررسی قرار می گیرد. در یک جمع بندی می توان اظهار داشت که شبکه های با ساختار ‎-(?,?)‎ ‎‎شبکه های با ساختار‎ ‎‎متعادل ضمن اینکه در قضیه ی ماکزیمم جریان-مینیمم برش صدق می کنند در مواجه با شکست کمان و یا رأس شبکه -(?,?)‎معتبر رأسی و -? کمانی، نسبت به شبکه های معمولی قابلیت اطمینان بیشتری دارند.

مسائل حساب تغییرات با نقاط انتهایی متغیر را نمی توان بدون شرایط تراگردی حل کرد. در این رساله شرایط تراگردی برای مسائل حساب تغییرات کسری با مشتق کاپاتو به دست می آید. به این منظور مسائل زیر در نظر گرفته می شوند: • مسأله حساب تغییرات کسری از نوع بوالزا، • مسائل حساب تغییرات کسری با تابع لاگرانژی که ممکن است به نقطه ی انتهایی معین (b)? وابسته باشد، در این حالت (t)? = y منحنی مفروضی است، • مسائل حساب تغییرات کسری با افق بی کران.

در این رساله کنترل بهینه دستگاه ساختار سنی بررسی و تکامل سلول های طبیعی و سلول های بنیادی خون ساز لوسمی تحت درمان توصیف خواهد شد. کنترل بهینه مقدار داروی تجویز شده در یک مدت زمان ثابت را نشان می دهد. ابتدا مدل را گسسته سازی کرده و سپس شواهدی ارائه می دهیم که با روند گسسته سازی مدل ارائه شده سازگار است. علاوه بر این ثابت می کنیم جواب بدست آمده همواره به داده های آغازین وابسته است. ‏سپس نشان می دهیم وجود کنترل بهینه به جواب یکتای مدل ارائه شده منجر می گردد. مثال های عددی نشان می دهند میزان تقسیم سلول های بنیادی خون ساز لوسمی در تعیین کنترل بهینه نقش اساسی دارند. زمانی که میزان تقسیم با سن سلول ها کاهش می یابد، در ابتدا باید از دارو درمانی با دوز کامل استفاده نمود پس از آن دارو درمانی نسبت به زمان قطعه ای پیوسته است. زمانی که قابلیت تقسیم سلول های بنیادی خون ساز لوسمی مسن تر بیشتر است، دوز بهینه دارو تا بیشترین میزان افزایش یافته و پس از آن در طی زمان کاهش می یابد.

در این پایان نامه ابتدا روش شبه‏ طیفی گوس-لژاندر انتقال یافته ‎(shlg)‎ را برای مسائل کنترل بهینه ی تأخیری ‏توسعه می‏ دهیم. با تقسیم دامنه به یک شبکه یکنواخت بر اساس ‏پارامترهای تأخیر، مسأله‏ ی کنترل بهینه ی تأخیری خطی مقید‏‏، به یک مسأله ی برنامه‏ ریزی ریاضی درجه دوم تبدیل ‏می شود. سپس این روش را با استفاده از شبه خطی سازی به مسائل غیرخطی توسعه می دهیم. با استفاده از این طرح‏، مسأله ی‏ کنترل بهینه ی تأخیری غیرخطی مقید، با دنباله ای از مسائل خطی درجه دوم مقید جایگزین می شود که جواب آنها به جواب مسأله ی غیرخطی اصلی همگرا است. این روش، روش شبه طیفی تطبیقی-تکراری نامیده می شود. علاوه بر این برای نشان دادن کاربرد و صحت روش ارائه شده، مقایسه ای با راه حل های تحلیلی و عددی در متن انجام می دهیم.‎‏

رفتار جواب های دستگاه مفروض با تجزیه تحلیل وجود نقاط تعادل و پایداری دستگاه در این نقاط‏، به طور مفصل مورد بحث قرار گرفته ‏می شود. متناظر با دستگاه مورد نظر مسأله کنترل بهینه ای در نظر گرفته شده است که هدف آن کمینه سازی تعداد سلول های تومور و مقدار داروی شیمی درمانی تجویز شده می باشد. بدین منظور از یک ‏تابعی معیار با عامل کنترلی درجه دوم استفاده شده است. مقدار داروی شیمی درمانی تجویز شده به عنوان عامل کنترلی که موجب کاهش گسترش این بیماری می شود در نظر گرفته خواهد شد. سرانجام نیز یافته های مهم ریاضی برای رفتار دینامیکی مدل کنترلی با استفاده از نرم افزار matlab به صورت نموداری ارائه خواهند شد.