در این رساله برای اولین بار حساب عملگری تبدیل l2 را مورد بررسی قرار می دهیم و با بیان قضایایی همچون قضیه تلفیق‎،‎ قضیه فرمول انتگرال معکوس و قضیه حاصلضرب تعمیم یافته از کاربرد های آن در حل معادلات انتگرال منفرد و معادلات با مشتقات کسری جزئی استفاده می کنیم‎.‎ در ادامه نشان می دهیم که چگونه این تبدیل می تواند به عنوان تبدیل مکملی برای تبدیل لاپلاس در حل مسایل مقدار مرزی که توابع به کار رفته در آن لاپلاس پذیر نیستند مورد استفاده قرار گیرد. در فصل دوم و سوم با معرفی تبدیل la یک بعدی و دو بعدی برای تابع یکنوا‎ a (به عنوان تعمیمی از تبدیل لاپلاس‎،‎ تبدیل ملین و تبدیل l2‎ ) و به کار گیری حساب عملگری این تبدیل با تعمیم قضایایی همانند قضیه تلفیق‎،‎ قضیه فرمول انتگرال معکوس و قضیه حاصلضرب تعمیم یافته ‎،‎ تکنیک جدید و مفیدی را برای حل مسایل مقدار مرزی با مشتقات کسری جزئی و معادلات انتگرال منفرد به کار می گیریم . بررسی برخی مسائل مقدار مرزی با مشتقات کسری به کار رفته در علوم کاربردی (مانند معادله آشفتگی ‎،‎ معادله پخش در فراکتالها‎,‎ معادله بلک شولز و .....) از جمله مواردی است که در فصل چهارم با استفاده از تبدیل la ‎یک بعدی و دو بعدی مورد بررسی قرار می دهیم. در انتها, در فصل پنجم با معرفی روش عددی مفید با خطای بسیار کم و همگرایی سریع برای تبدیل ‎ l2 یک بعدی و دو بعدی مبتنی بر سری فوریه‎،‎ امکان محاسبه معکوس توابع به کار رفته در علوم ریاضی ارائه شده است به ویژه توابعی با رفتار میرا در نزدیکی نقطه صفر که لاپلاس پذیر نیستند. ‎