فرایند پاداش نوع خاصی از فرایند های تصادفی است که بر اساس یک فرایند نیم مارکف تعریف می شود. در این پایان نامه فرایند پاداش با تابع پاداش غیرخطی که در عمل واقع گرایانه تر است را مورد بررسی قرار می دهیم و به بررسی کمیت مهم اولین زمان گذر این فرایند از یک سطح از قبل معلوم شده می پردازیم بطوریکه در ابتدا مقدار مورد انتظار مجانبی این کمیت را محاسبه کرده و سپس قانون قوی اعداد بزرگ را برای آن بدست می آوریم. به خاطر فرم پیچیده توزیع اولین زمان گذر فرایند پاداش، توزیع مجانبی را با قضیه ی حد مرکزی تابعی محاسبه می کنیم و نشان می دهیم تحت این قضیه توزیع اولین زمان گذر فرایند پاداش به طور مجانبی به یک فرایند حرکت براونی همگرا است. سرانجام دو کاربرد مهم اولین زمان گذر فرایند پاداش را در اصلاح الگوی مصرف و سیستم های کامپیوتری مورد بررسی قرار می دهیم.

بررسی ساختار وابستگی و ساخت توزیع های چندمتغیره، یکی از موضوعات مهم و اساسی در تحلیل عدم قطعیت بین پدیده های مختلف می باشد. مفصل ها با پیوند بین توزیع های حاشیه ای متغیرها وسیله ای مناسب برای تحلیل ساختار وابستگی آن ها و ساخت توزیع های چندمتغیره می باشند. یکی از چالش ها در این زمینه یافتن تابع مفصل مناسب می باشد که با افزایش بعد مفصل‏ ها و محدودیت در ساخت مفصل های چندمتغیره، دشوارتر می شود. به عبارت دیگر، سختی تعیین توزیع تواُم بین متغیرها تبدیل به چالش تعیین مفصل مناسب می شود. فقدان آزمون های نیکویی برازش مناسب به ویژه در توابع مفصل چندمتغیره، این مسئله را با مشکلات بیشتری مواجه می کند. مفصل های ناپارامتری یک راه کار مناسب برای رفع این مشکل می باشند. مفصل تجربی به عنوان اولین مفصل ناپارامتری معرفی گردید. اما این مفصل به دلیل نقاط ناپیوستگی زیاد، کمتر مورد توجه است. تقریب مفصل ها به کمک کرنل روش دیگری است که گاهی اوقات با محاسبات پیچیده و زمان بر همراه است. انتخاب پارامتر پهنای باند و روش های انتخاب آن نیز همواره مورد بحث بوده است. روش ناپارامتری دیگر، برازش مفصل به کمک سری های متعامد است که انتخاب نقطه ی برش در آن ها از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند. این روش مانند روش اسپلاین به دلیل تکیه گاه نامتناهی جهت رسیدن به سطح تقریب مناسب از جملات زیادی استفاده می کند. نظریه ی موجک ها یکی از مباحث مطرح در ریاضیات است که موجب تقویت استفاده از سرهای متعامد در جنبه های کاربردی زیادی گردیده است. در آمار تقریب توابع چگالی و همچنین توابع چگالی مفصل ها به کمک موجک ها به عنوان یک برازش ناپارامتری مناسب مطرح است. موجک های چندگانه دارای ویژگی های برتری نسبت به موجک ها می باشند، سه ویژگی تکیه گاه فشرده، متعامد بودن و تقارن را با هم دارا می باشند. در حالی که همه موجک ها نمی توانند به طور همزمان این سه ویژگی را دارا باشند.در این رساله برآنیم مفصل ها را به وسیله موجک های چندگانه که یک تجسم برداری از موجک ها هستند ، تقریب بزنیم و از آن به عنوان یک برازش ناپارامتری مناسب استفاده کنیم. وجود سه ویژگی نام برده به صورت همزمان در موجک های چندگانه، باعث مناسب بودن تقریب و حصول ویژگی های مطلوب برای تقریب می باشند. تعامد باعث می شود ضرایب تقریب به سادگی محاسبه شوند، تکیه گاه فشرده، موجب می شود که با تعداد جملات کمتری به سطح تقریب مورد نظر برسیم و نهایتاً تقارن سبب می شود که توابع با داشتن ویژگی های تقارن موضعی و کلی بهتر تقریب زده شوند. تقریب مفصل ها به کمک موجک های چندگانه مختلف صورت خواهد گرفت. سپس به ارزیابی برازش مفصل مناسب بر اساس معیار کمترین مربعات خطای انتگرالی ($mise$)، خطای نقطه به نقطه ($pwe$) و آکائیک ($aic$) خواهیم پرداخت. این تقریب را به کمک آنالیز چندریزه ساز که بین تعداد جملات استفاده شده و سطح تقریب مناسب تعادل برقرار می کند، تقویت می کنیم. بر اساس نتایج به دست آمده، در ریزه ساز های پایین، موجک های چندگانه بهتر از موجک ها عمل می کنند و زودتر از تقریب های به دست آمده به وسیله ی موجک ها به مفصل اصلی همگرا می شوند. یکی از مزیت های روش مورد استفاده این است که در عمل، ساده تر می توان به سطح تقریب دلخواه دست یافت. سپس از مفصل تقریبی به کمک موجک چندگانه شبیه سازی خواهیم نمود و میزان وابستگی داده های اصلی و داده های شبیه سازی شده را مقایسه خواهیم کرد. برای تقریب مفصل ها از موجک های چندگانه لژاندر نیز استفاده خواهیم نمود که با یک فرم ساده بسته بر اساس پایه های چندجمله ای ساخته می شوند. قدرت هموار سازی بالای این موجک چندگانه تقریب های مناسبی را فراهم می کند. مزیت دیگر این موجک چندگانه این است که تکیه گاه آن مانند مفصل ها $[0,1]$ است و این باعث می شود که انتگرال چگالی مفصل تقریب زده شده به کمک آنها همیشه یک شود و نیاز به تصحیح نداشته باشد. همچنین روش مورد استفاده در این رساله-تقریب مفصل ها به کمک موجک های چندگانه-به کمک یک ساختار انعطاف پذیر به نام تابع مفصل زوجی برای تقریب توابع مفصل چندمتغیره و توزیع های چندمتغیره استفاده خواهد شد. نهایتاً روش ارائه شده در این پژوهش را برای جنبه های کاربردی مختلف از جمله تحلیل وابستگی شاخص های مالی و بیمه ای به کار خواهیم برد.