حالت های هم گام در شبکه های پیچیده ای که از نوسان گرهای فاز در حال برهم کنش تشکیل شده اند اهمیت ویژه ای دارند. در این پایان نامه پس از تعریف و بررسی پایداری جواب های هم گام نشان می دهیم که به جز این حالت ها، پاسخ های دیگری به نام حالت های پایا نیز قابل تعریف اند. که در آن ها اگرچه فاز نوسان گرها با زمان تغییر می کند این تغییرات با الگوی خاصی صورت می گیرد به طوری که پارامترنظم به صورت یک تابع متناوب از زمان در می آید. همچنین پایداری این حالت ها در شبکه های کامل، دوبخشی کامل، شبه دوبخشی کامل و با توزیع فرکانس دوقله ای مورد بررسی قرارگرفته است. هم چنین جواب های مسئله به صورت عددی و توسط شبیه سازی کامپیوتری نیز مورد بررسی قرار گرفته و تطابق حل عددی و تحلیلی به خوبی دیده می شود.

در این مطالعه ابتدا به بررسی هم گامی نوسانات نورونی در شبکه هایی با تعداد کمی نورون می پردازیم. این شبکه های به اصطلاح پایه، الگوهایی برای توصیف شبکه های بزرگ تری با همین توپولوژی هستند. بررسی دینامیک پایدار چنین شبکه هایی می تواند به پیش بینی رفتار دینامیکی شبکه های بزرگ تر کمک کند. در ادامه با اطلاع از رفتار شبکه های پایه و تعمیم آن به الگوهای توپولوژیک، رفتار شبکه ها با تعداد زیادی نورون را مورد بررسی قرار خواهیم داد و در نهایت به تحلیل ریاضی پدیده ی هم گامی گذرا و شبیه سازی عددی این پدیده می پردازیم.