مشخص شده است که <?2(g)=<x|x4=1 تاثیر قوی بر روی ساختار یک 2-گروه g دارد. مثلاً دودوری بودن (?2(g دودوری بودن خود g را نتیجه می دهد. دراین پایان نامه 2-گروه های g طوری که ?2(g)=c2×d که در آن d یک 2-گروه از رده بیشین است را کاملاً مشخص می کنیم. همچنین ساختار یک 2-گروه متناهیg طوری که ?2*(g)?c2×q که در آن q گروه چهارگانی از مرتبه 2nاست را مشخص می کنیم. به علاوه ثابت می کنیم که اگر g یک p-گروه متناهی باشد طوری که (?2(g فوق ویژه است آنگاه, ?2(g)=g. همچنین در صورتی که (?2*(g فوق ویژه باشد, ثابت می کنیم که برایp=2 یا ?2*(g)=g یا g گروه نیم دووجهی از مرتبه 16 و برای ?2*(g)=hp(g) , p>2.