در این پایان نامه مثال هایی از فضاهای یک-بعدی ارایه می دهیم و به سوالاتی می پردازیم که در مطالعه گروه های بنیادی این فضاها ایجاد می شوند. البته برخی از نتایج را برای فضاهای کلی تر نیز اثبات خواهیم کرد. برای نمونه اثبات می کنیم گروه بنیادی یک فضای متری ، همبند، همبند مسیری موضعی، یک-بعدی و جدایی پذیر، آزاد است اگر و تنها اگر شمارا باشد و اگر و تنها اگر دارای پوشش جهانی باشد. همچنین اثبات می کنیم برای فضای متری، همبند مسیری موضعی و جدایی پذیر موارد زیر برقرار هستند. هر گروه خارج قسمتی جابجایی آزاد از ( ) ، شمارا است و در نتیجه هر گروه خارج قسمتی آزاد از ( ) از مرتبه ی شمارا است . اگر فشرده باشد، هر گروه خارج قسمتی جابجایی از ( ) متناهی-تولید شده است، در نتیجه هر گروه خارج قسمتی آزاد از ( ) از مرتبه ی متناهی است. اگر ( ) جابجایی آزاد باشد، آن گاه دارای یک پوشش جهانی است.