زیرمجموعه x از راس های یک گراف ساده g را غیرزائد باز- باز گوییم هرگاه برای هر راس v در x داشته باشیم n(v)-n(x-v) غیرتهی باشد. با به کار بردن همسایگی های بسته یا باز در این تفاضل، مجموعه های غیرزائد بسته-بسته، بسته-باز و باز-بسته به دست می آید. از میان این مجموعه ها، مجموعهء غیر زائد بسته-بسته یک گراف به خاطر ارتباطش با مجموعهء احاطه گر، به طور مفصل بررسی شده است. فصل اول این رساله را به تعاریف مورد نیاز در این پایان نامه و همچنین نتایج به دست آمده در مورد مجموعه های غیر زائد بسته-بسته و بسته-باز اختصاص داده ایم. در فصل دوم، ویژگی هایی از مجموعه های غیرزائد باز-بستهء ماکسیمال در هر گراف و کرانی برای اندازهء کوچکترین مجموعهء غیرزائد باز-بستهء ماکسیمال را بیان و اثبات می کنیم. در فصل سوم، رابطهء بین مجموعه های احاطه گر مینیمال و غیرزائد بسته-بستهء ماکسیمال، رابطهء بین مجموعه های مستقل ماکسیمال و احاطه گر و رابطهء بین مجموعه های احاطه گر تام مینیمال و غیرزائد باز-باز ماکسیمال را نشان می دهیم. در فصل چهارم، ویژگی هایی از مجموعه های غیرزائد باز-باز در هر گراف و همچنین کوچکترین اندازهء یک مجموعهء غیرزائد باز-باز ماکسیمال در مسیرها و دورها را به دست می آوریم و نشان می دهیم که مجموعه هایغیرزائد باز-باز از یک گراف دوبخشی با مجموعه های غیرزائد باز-بسته از هر بخش آن چه ارتباطی دارد.