در این پایان نامه نشان داده شده که (b(g همان دوگان (c*(g است. در فصل 2 به ویژگی ها و اثبات های پایه ای از (b(g اشاره شده است. پس از آوردن تعریفی از جبرهای فوریه در شروع فصل 3، ملاحضه می شود (a(g زیر جبری از (b(g تولید شده از توابع مثبت معین با محمل فشرده است.در ادامه در قالب قضیه ای اثبات می گردد دوگان (a(g دقیقا (vn(g است. همچنین در این فصل مشاهده می گردد که (a(g یک (vn(g- مدول چپ و (vn(g یک (a(g- مدول چپ است. اغلب فضاهای توابع یا فضا های اندازه روی گروه موضعا فشرده g از دو رابطه ترتیبی برخوردارند؛ یکی رابطه ترتیب نقطه ای و دیگری رابطه ترتیب مثبت معین. به این دو رابطه ترتیبی در این پایان نامه مخروط نقطه ای و مخروط مثبت معین نیز گفته می شود. نظر به اینکه جبر های استیلتجس فوریه با ضرب نقطه ای یک جبر باناخ جابجایی و یکدار است، در بخش 3 از فصل 4 ساختار دیگری روی آن در نظر می گیریم. تحت دو مفهوم (b(g یک فضای برداری دو ترتیبی است؛ این روابط به این صورت تعریف می شوند؛ مخروط (p(g شامل همه توابع مثبت معین پیوسته و مخروط +(b(g متشکل از همه توابع مثبت نقطه ای روی g است. هدف از این بخش این است که نشان دهیم فضای دو ترتیبی (+(b(g),p(g),b(g) یک فضای کامل پایا برای گروه موضعا فشرده g است. بطور دقیق تر اگر g و g دو گروه موضعا فشرده باشند، آنگاه g و g آیزومورفیسم گروهی توپولوژیکی هستند، اگر و تنها اگر نگاشت خطی دو سویی t از (b(g به (b(g موجود باشد که +(t(b(g)+)=b(g و (t(p(g))=p(g . در نهایت خاطر نشان می کنیم که نتیجه اصلی در این بخش برای جبر های گروه کاربرد دارد. لذا در بخش 4 از فصل 4 به دست می آید که جبر های گروه نیز دارای ساختار طبیعی از یک فضای دو ترتیبی است که کامل پایا از g است. در بخش 5 و 6 از فصل 4، مشاهده می کنیم که روی (m(g یعنی جبرهای اندازه و روی جبرهای گروه نیز دو رابطه مثبت معین طبیعی متفاوت وجود دارد: یکی از این روابط از *c-جبر و دیگری به وسیله نمایش منظم جپ حاصل می شود. ما نشان می دهیم که فضاهای دو ترتیبی حاصل از هر دوی این مخروط های مثبت معین آیزومورفیسم کامل پایا است. در بخش 7 از فصل 4نشان داده می شود که (a(g نیز یک فضای برداری ترتیبی برای دو رابطه ترتیب متفاوت، یعنی، ترتیب نقطه ای، ترتیب مثبت معین با مخروطی از همه توابع مثبت معین در (a(g است. (a(g با این دو مخروط یک فضای کامل پایه است.