برای یک گروه ساده ی g و زیر مجموعه ی s از آن که شامل عضو همانی گروه نیست، گراف کیلی x را به این صورت تعریف می نماییم که راس های گراف کیلی همان اعضای گروه می باشندو یال های گراف اعضایی از گروه را به هم متصل می نمایند که حاصل ضرب یکی از آن ها ذر معکوس دیگری در مجموعه ی s باشد. در این پایان نامه شرایط کافی برای این که گروه ساده ی g یک زیر گروه نرمال از autx باشد را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس گروه های خودریختی گراف کیلی متقارن x با درجه ی ? را بررسی خواهیم کرد.

امروزه پایه های گروبنر کاربرد وسیعی در حل دستگاه های غیر خطی روی میدان های متناهی پیدا کرده است. از طرفی تلاش دانشمندان برای ساخت و طراحی سیستم های رمز امن، آنها را وادار به حل دستگاه هایی از درجه ?‎ روی میدان های متناهی با تعداد متغیر زیاد واداشته است. در این نوشتار بعد از مقدمه ای مفصل در مورد جبر و رمزنگاری، چند سیستم رمز را معرفی می کنیم. در فصل سوم موضوع جذاب و جدید(در نوع خود) رمزنگاری کلید عمومی چند متغیره را معرفی می نماییم و نمونه ای از این سیستم ها را به طور کامل معرفی و بررسی می کنیم. در فصل آخر پایه های گروبنر برای را تعریف می کنیم. در ادامه سیستم های رمزی را که در فصل های قبل معرفی شده بودند به وسیله پایه های گروبنر تحلیل می کنیم و در انتها بعد از تعریف پایه های گروبنر برای مشبکه ها، کاربردآن در طراحی سیستم رمز lpc را مطرح می نماییم.